Prove que
.
Proposição 1.1.8: Propriedade arquimediana
Seja
com
e
. Então, existe
tal que
.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado pede e quais informações temos. O objetivo é provar que
.
Informações e definições que vamos usar (estou assumindo que
e
significam pares e ímpares):
- Definição de inteiro par:
é par se existe tal que . Em símbolos: . - Definição de inteiro ímpar:
é ímpar se existe tal que . Em símbolos: . - O enunciado também trouxe a Proposição 1.1.8 (propriedade arquimediana): para
com e existe tal que . (Guardar isto caso seja útil; nesta prova não é essencial usar diretamente, mas é uma propriedade básica que garante comportamento “sem teto” de múltiplos.)
O que precisamos demonstrar:
- Que todo elemento de
pertence a (ou seja, ). - Que todo
pertence a ou a (ou seja, ).
Passo 2
Mostrar que
.
Explicação: por definição tanto
quanto
são subconjuntos de
(pois seus elementos são expressos como
ou
com
). Então qualquer elemento de
está em
e qualquer elemento de
está em
. Portanto a união também está em
. Formalmente:
Isto completa a inclusão fácil.
Passo 3
Agora a parte importante: provar que
. Ou seja, dado um
qualquer, mostrar que
é par ou ímpar.
Estratégia: tomamos
arbitrário e construímos inteiros
e
com
tais que
Se conseguirmos isso então, se
temos
e se
temos
. Vou tratar os casos
e
separadamente, porque para
uso o princípio do mínimo (well-ordering) sobre naturais; para
reduzimos ao caso positivo.
Passo 4
Caso
.
Considere o conjunto
Observações:
-
é um subconjunto dos inteiros não negativos . -
é não vazio porque, por exemplo, tomando temos , logo .
Pelo princípio do bom-ordenamento dos inteiros não negativos (todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento), existe um menor elemento
. Logo existem
e
com
tais que
e
é mínimo entre os elementos de
.
Agora mostro que esse
só pode ser
ou
. Suponha, para obter contradição, que
. Então
. Mas
ou seja,
também é da forma
com
e é não negativo, portanto
. Isso contradiz a minimalidade de
(porque
). Logo não pode ter
. Portanto necessariamente
.
Assim para
existem
e
com
o que significa que
é par (se
) ou ímpar (se
).
Passo 5
Caso
.
Se
aplique o resultado do passo anterior a
(que é não negativo). Pelo passo anterior existe
e
tais que
Multiplicando por
,
Se
então
, logo
é par. Se
então
logo
é ímpar (escrevemos
na forma
com
). Portanto também no caso negativo
é par ou ímpar.
Passo 6
Conclusão das inclusões.
Reunindo os passos anteriores:
- Já mostramos
. - Pelo passo 4 e 5, qualquer
é par ou ímpar, isto é, . Portanto .
Juntando as duas inclusões obtemos a igualdade desejada: