Prove que \mathbb{Z}=P a \cup I m.
Proposição 1.1.8: Propriedade arquimediana
Seja a, b \in \mathbb{Z} com 0<a e 0<b. Então, existe n \in \mathbb{Z} tal que a<n b.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e quais informações temos. O objetivo é provar que
\mathbb{Z}=P a \cup I m.
Informações e definições que vamos usar (estou assumindo que P a e I m significam pares e ímpares):
  • Definição de inteiro par: m é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que m=2k. Em símbolos: P a=\{m\in\mathbb{Z}\mid \exists k\in\mathbb{Z},\\ m=2k\}.
  • Definição de inteiro ímpar: m é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que m=2k+1. Em símbolos: I m=\{m\in\mathbb{Z}\mid \exists k\in\mathbb{Z},\\ m=2k+1\}.
  • O enunciado também trouxe a Proposição 1.1.8 (propriedade arquimediana): para a,b\in\mathbb{Z} com 0<a e 0<b existe n\in\mathbb{Z} tal que a<n b. (Guardar isto caso seja útil; nesta prova não é essencial usar diretamente, mas é uma propriedade básica que garante comportamento “sem teto” de múltiplos.)
O que precisamos demonstrar:
  1. Que todo elemento de P a\cup I m pertence a \mathbb{Z} (ou seja, P a\cup I m\subseteq\mathbb{Z}).
  2. Que todo z\in\mathbb{Z} pertence a P a ou a I m (ou seja, \mathbb{Z}\subseteq P a\cup I m).

Passo 2

Mostrar que P a\cup I m\subseteq\mathbb{Z}.
Explicação: por definição tanto P a quanto I m são subconjuntos de \mathbb{Z} (pois seus elementos são expressos como 2k ou 2k+1 com k\in\mathbb{Z}). Então qualquer elemento de P a está em \mathbb{Z} e qualquer elemento de I m está em \mathbb{Z}. Portanto a união também está em \mathbb{Z}. Formalmente:
P a\subseteq\mathbb{Z},\qquad I m\subseteq\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad P a\cup I m\subseteq\mathbb{Z}.
Isto completa a inclusão fácil.

Passo 3

Agora a parte importante: provar que \mathbb{Z}\subseteq P a\cup I m. Ou seja, dado um n\in\mathbb{Z} qualquer, mostrar que n é par ou ímpar.
Estratégia: tomamos n\in\mathbb{Z} arbitrário e construímos inteiros q e r com r\in\{0,1\} tais que
n=2q+r.
Se conseguirmos isso então, se r=0 temos n\in P a e se r=1 temos n\in I m. Vou tratar os casos n\ge 0 e n<0 separadamente, porque para n\ge 0 uso o princípio do mínimo (well-ordering) sobre naturais; para n<0 reduzimos ao caso positivo.

Passo 4

Caso n\ge 0.
Considere o conjunto
S=\{\,n-2k\mid k\in\mathbb{Z}\text{ e }n-2k\ge 0\,\}.
Observações:
  • S é um subconjunto dos inteiros não negativos \{0,1,2,\dots\}.
  • S é não vazio porque, por exemplo, tomando k=0 temos n-2\cdot 0=n\ge0, logo n\in S.
Pelo princípio do bom-ordenamento dos inteiros não negativos (todo subconjunto não vazio de \{0,1,2,\dots\} tem um menor elemento), existe um menor elemento r\in S. Logo existem q\in\mathbb{Z} e r\in\mathbb{Z} com r\ge0 tais que
r=n-2q,
e r é mínimo entre os elementos de S.
Agora mostro que esse r só pode ser 0 ou 1. Suponha, para obter contradição, que r\ge 2. Então r-2\ge0. Mas
r-2=(n-2q)-2=n-2(q+1),
ou seja, r-2 também é da forma n-2k com k=q+1 e é não negativo, portanto r-2\in S. Isso contradiz a minimalidade de r (porque r-2<r). Logo não pode ter r\ge2. Portanto necessariamente r\in\{0,1\}.
Assim para n\ge0 existem q\in\mathbb{Z} e r\in\{0,1\} com
n=2q+r,
o que significa que n é par (se r=0) ou ímpar (se r=1).

Passo 5

Caso n<0.
Se n<0 aplique o resultado do passo anterior a -n (que é não negativo). Pelo passo anterior existe q\in\mathbb{Z} e r\in\{0,1\} tais que
-n=2q+r.
Multiplicando por -1,
n=-2q-r.
Se r=0 então n=-2q=2(-q), logo n é par. Se r=1 então
n=-2q-1=2(-q-1)+1,
logo n é ímpar (escrevemos n na forma 2k+1 com k=-q-1\in\mathbb{Z}). Portanto também no caso negativo n é par ou ímpar.

Passo 6

Conclusão das inclusões.
Reunindo os passos anteriores:
  • Já mostramos P a\cup I m\subseteq\mathbb{Z}.
  • Pelo passo 4 e 5, qualquer n\in\mathbb{Z} é par ou ímpar, isto é, n\in P a\cup I m. Portanto \mathbb{Z}\subseteq P a\cup I m.
Juntando as duas inclusões obtemos a igualdade desejada:
\mathbb{Z}=P a\cup I m.

Resposta

\mathbb{Z}=P a \cup I m

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