De acordo com a Lei de Kirchhoff para a conservação de energia, a equação de um circuito RLC série é:
(a) Resolva a equação no domínio de Laplace, obtendo q(s). Em seguida, determine a solução no tempo q(t) para os casos de amortecimento subcrítico e amortecimento crítico, assumindo condições iniciais
ou defasados?
(b) Qual 'e a frequência do sistema? (c) iR^n(t) d t
(c) O que significa o termo oscilações forçadas no contexto de circuitos elétricos?

Passo 1

O enunciado traz o circuito série RLC cuja equação diferencial homogênea, segundo Kirchhoff, é \r
;Ld^2qdt^2+Rdqdt+1C,q=0, \r
onde q(t) é a carga no capacitor. Vamos (a) aplicar a transformada de Laplace para obter Q(s) e, em seguida, inverter para q(t), nos casos de amortecimento subcrítico ( zeta<1) e crítico ( zeta=1), assumindo condições iniciais \r
;q(0)=Q0, i(0)=dqdt(0)=I0 \r
Depois faremos (b) a frequência natural do sistema e (c) comentaremos o que são oscilações forçadas.

Passo 2

Tomando Laplace em cada termo e usando \r
Lq''=s^2Q(s)-s,Q0-I0 \r
e \r
Lq'=s,Q(s)-Q0, \r
temos \r
Ll(s^2Q(s)-sQ0-I0r)+Rl(sQ(s)-Q0r)+1CQ(s)=0 \r
Agrupando Q(s), \r
Q(s)l(Ls^2+Rs+tfrac1Cr) =L,(sQ0+I0)+R,Q0 \r
Logo, \r
Q(s)=L,s,Q0+L,I0+R,Q0L,s^2+R,s+tfrac1C

Passo 3

Definimos a frequência natural não amortecida \r
omega0=1raizLC \r
e a razão de amortecimento
alpha=R2L. \r
O discriminante é
alpha^2-omega0^2. \r
  1. Subcrítico ( alpha<omega0, ou seja zeta<1): \r
q(t) =e^-alpha tl(Acosomegad t+Bsinomegad tr),
onde
omegad=raizomega0^2-alpha^2
e A=Q0, B=(I0+alpha Q0)/omegad obtidos pelas condições iniciais. \r
2) Crítico ( alpha=omega0, ou seja zeta=1): \r
q(t) =e^-alpha tl(C+Dtr),
onde
C=Q0 e D=I0+alpha Q0.

Passo 4

A frequência natural do sistema sem amortecimento é \r
omega0=1raizLC, \r
e a frequência amortecida (subcrítico) é \r
omegad=raizomega0^2-l(tfracR2Lr)^2

Passo 5

Oscilações forçadas são a resposta em regime permanente quando aplicamos uma fonte externa vrm in(t) (por exemplo, senoidal) ao circuito. Nesse caso a solução total é a soma da resposta natural qn(t) (que decai em função do amortecimento) e da resposta particular qp(t) que oscila na frequência da fonte, sobrevivendo após o decaimento dos transientes naturais.

Resposta

(a)
Q(s)=L,s,Q0+L,I0+R,Q0L,s^2+R,s+tfrac1C,
q(t)=e^-alpha tl(Q0cosomegad t+tfracI0+alpha Q0omegadsinomegad tr), &alpha<omega0, q(t)=e^-alpha tl(Q0+(I0+alpha Q0)tr), &alpha=omega0 \r
(b)
omega0=1/raizLC,
omegad=raizomega0^2-(R/2L)^2 \r
(c) Oscilações forçadas são aquelas mantidas pela fonte externa em regime permanente, na frequência de excitação, após o decaimento da resposta natural.

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