Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema podem ser modeladas como um processo de Poisson, com média de 25 conexões por hora. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
-
Informações dadas:
- A conexão dos usuários segue um processo de Poisson com média de 25 conexões por hora. Vou chamar essa taxa de
, logo (unidade: conexões por hora). - O enunciado pede probabilidades envolvendo intervalos de tempo dados em minutos:
minutos, minutos e minutos.
- A conexão dos usuários segue um processo de Poisson com média de 25 conexões por hora. Vou chamar essa taxa de
-
Perguntas que precisamos responder:
- Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de
minutos? - Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre
e minutos?
- Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de
Passo 2
Entendendo o modelo (ideia-chave que vamos usar): em um processo de Poisson com taxa constante
(conexões por hora), o número de eventos em um intervalo de duração
horas é uma variável aleatória de Poisson com média
. A fórmula da probabilidade de exatamente
ocorrências em tempo
é:
onde:
-
é o número de conexões no intervalo de duração (em horas), -
é a taxa média de conexões por hora, -
é um número inteiro não negativo (quantas conexões queremos).
Passo 3
Aplicando ao caso da primeira pergunta (probabilidade de nenhuma conexão em
minutos):
-
Primeiro converto
minutos para horas, porque está em conexões por hora: -
A média esperada no intervalo de
hora é . -
A probabilidade de
conexões é (usar na fórmula da Poisson):
Passo 4
Calculemos numericamente
. Usando a aproximação da exponencial:
Portanto, a probabilidade de não haver conexões em
minutos é aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 5
Agora a segunda pergunta: tempo até a próxima conexão. Uma propriedade importante de processos de Poisson é que os tempos entre chegadas (interarrival times) são independentes e seguem uma distribuição exponencial com parâmetro
(a mesma taxa do processo, em unidades por hora). Ou seja, o tempo até a próxima conexão, que chamo de
, tem densidade e função de distribuição cumulativa dadas por:
Aqui
está em horas e
(conexões por hora). Uma forma útil para probabilidades do tipo
é:
Passo 6
Aplicando ao intervalo entre
e
minutos:
- Converto os minutos para horas:
- Uso a fórmula para
:
Substituindo
:
Passo 7
Simplifico os expoentes e calculo numericamente:
-
, -
.
Logo:
Calculando numericamente:
Arredondando de forma conveniente, isso dá aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 8
Observação rápida e reconfortante: outra forma de ver a probabilidade entre
e
minutos é usar a relação
. Então
que é exatamente o que calculamos acima — mostra consistência entre as duas abordagens.