Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema podem ser modeladas como um processo de Poisson, com média de 25 conexões por hora. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informações dadas:
    • A conexão dos usuários segue um processo de Poisson com média de 25 conexões por hora. Vou chamar essa taxa de \lambda, logo \lambda=25 (unidade: conexões por hora).
    • O enunciado pede probabilidades envolvendo intervalos de tempo dados em minutos: 6 minutos, 2 minutos e 3 minutos.
  • Perguntas que precisamos responder:
    1. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos?
    2. Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos?

Passo 2

Entendendo o modelo (ideia-chave que vamos usar): em um processo de Poisson com taxa constante \lambda (conexões por hora), o número de eventos em um intervalo de duração t horas é uma variável aleatória de Poisson com média \lambda t. A fórmula da probabilidade de exatamente k ocorrências em tempo t é:
P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},
onde:
  • N(t) é o número de conexões no intervalo de duração t (em horas),
  • \lambda é a taxa média de conexões por hora,
  • k é um número inteiro não negativo (quantas conexões queremos).

Passo 3

Aplicando ao caso da primeira pergunta (probabilidade de nenhuma conexão em 6 minutos):
  • Primeiro converto 6 minutos para horas, porque \lambda está em conexões por hora:
    6\\ \text{minutos} = \frac{6}{60}\\ \text{horas} = 0{,}1\\ \text{hora}.
  • A média esperada no intervalo de t=0{,}1 hora é \lambda t = 25 \times 0{,}1 = 2{,}5.
  • A probabilidade de 0 conexões é (usar k=0 na fórmula da Poisson):
P(N(0{,}1)=0)=\frac{(2{,}5)^0}{0!}e^{-2{,}5}=e^{-2{,}5}.

Passo 4

Calculemos numericamente e^{-2{,}5}. Usando a aproximação da exponencial:
e^{-2{,}5}\approx 0{,}082085.
Portanto, a probabilidade de não haver conexões em 6 minutos é aproximadamente 0{,}082085 (ou cerca de 8{,}21\%).

Passo 5

Agora a segunda pergunta: tempo até a próxima conexão. Uma propriedade importante de processos de Poisson é que os tempos entre chegadas (interarrival times) são independentes e seguem uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda (a mesma taxa do processo, em unidades por hora). Ou seja, o tempo até a próxima conexão, que chamo de T, tem densidade e função de distribuição cumulativa dadas por:
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t}\quad\text{para }t\ge0,
F_T(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.
Aqui t está em horas e \lambda=25 (conexões por hora). Uma forma útil para probabilidades do tipo P(a<T<b) é:
P(a<T<b)=F_T(b)-F_T(a)=\bigl(1-e^{-\lambda b}\bigr)-\bigl(1-e^{-\lambda a}\bigr)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.

Passo 6

Aplicando ao intervalo entre 2 e 3 minutos:
  • Converto os minutos para horas: 2\\ \text{min}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}\\ \text{hora}\approx0{,}033333\\ \text{hora},
3\\ \text{min}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\\ \text{hora}=0{,}05\\ \text{hora}.
  • Uso a fórmula para P\bigl(\tfrac{1}{30}<T<\tfrac{1}{20}\bigr):
P\Bigl(\frac{1}{30}<T<\frac{1}{20}\Bigr)=e^{-\lambda\cdot\frac{1}{30}}-e^{-\lambda\cdot\frac{1}{20}}.
Substituindo \lambda=25:
P\Bigl(\frac{1}{30}<T<\frac{1}{20}\Bigr)=e^{-25\cdot\frac{1}{30}}-e^{-25\cdot\frac{1}{20}}.

Passo 7

Simplifico os expoentes e calculo numericamente:
  • 25\cdot\frac{1}{30}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}\approx0{,}833333,
  • 25\cdot\frac{1}{20}=\frac{25}{20}=\frac{5}{4}=1{,}25.
Logo:
P\Bigl(\frac{1}{30}<T<\frac{1}{20}\Bigr)=e^{-5/6}-e^{-5/4}.
Calculando numericamente:
e^{-5/6}\approx 0{,}434598,\quad e^{-5/4}\approx 0{,}286505,
e^{-5/6}-e^{-5/4}\approx 0{,}434598-0{,}286505=0{,}148093.
Arredondando de forma conveniente, isso dá aproximadamente 0{,}14809 (ou cerca de 14{,}81\%).

Passo 8

Observação rápida e reconfortante: outra forma de ver a probabilidade entre 2 e 3 minutos é usar a relação P(T>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}. Então
P(2{\rm \\ min}<T<3{\rm \\ min})=P(T>2{\rm \\ min})-P(T>3{\rm \\ min})=e^{-\lambda\cdot(2/60)}-e^{-\lambda\cdot(3/60)},
que é exatamente o que calculamos acima — mostra consistência entre as duas abordagens.

Resposta

P(\text{nenhuma conexão em }6\text{ min})=e^{-2{,}5}\approx 0{,}082085ã\n
P(2\text{ min}<T<3\text{ min})=e^{-5/6}-e^{-5/4}\approx 0{,}148093

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