Uma fábrica de TV determinou que a vida de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo seguindo uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir uma TV gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: a vida útil das TVs produzidas segue uma distribuição exponencial com vida média de 800 horas de uso contínuo.
  • Informação 2: a fábrica oferece garantia de 300 horas de uso.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir uma TV gratuitamente (isto é, que a TV falhe durante o período de garantia de 300 horas)?

Passo 2

Vamos entender o que significa a distribuição exponencial e quais fórmulas usamos (a explicação é bem passo a passo, como você pediu).
  • A variável aleatória que representa o tempo até a falha da TV será chamada de T.
  • A distribuição exponencial é usada para modelar tempos até um evento (aqui: falha) quando o evento tem uma taxa constante no tempo. O que importa para a resolução é que a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial dá a probabilidade de a falha ocorrer até um tempo t e vale
F(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t},
onde \lambda é o parâmetro da exponencial (a taxa de falha por hora).
  • A média (valor esperado) da exponencial relaciona-se com \lambda assim:
E(T)=\frac{1}{\lambda}.
Aqui, E(T) é a média do tempo até a falha (já nos foi dada: 800 horas). Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • T: tempo até a falha (em horas).
  • t: um tempo específico (em horas) — por exemplo, t=300.
  • \lambda: taxa de falha por hora (unidade: 1/hora).
  • F(t): probabilidade de que a TV falhe antes ou exatamente no tempo t.

Passo 3

Determinar \lambda a partir da média dada.
  • Foi dada a média E(T)=800 horas.
  • Usando E(T)=1/\lambda, temos
\frac{1}{\lambda}=800.
  • Resolve-se para \lambda:
\lambda=\frac{1}{800}.
  • Em forma decimal,
\lambda=0,00125\quad(\text{por hora}).

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida em termos da CDF exponencial.
  • A fábrica terá de substituir gratuitamente quando a TV falhar dentro de 300 horas, ou seja, queremos P(T\le 300).
  • Usando a fórmula da CDF:
P(T\le 300)=1-e^{-\lambda\cdot 300}.

Passo 5

Substituir \lambda e simplificar o expoente.
  • Substituindo \lambda=\dfrac{1}{800} na expressão:
P(T\le 300)=1-e^{-\frac{1}{800}\cdot 300}.
  • Simplificando o produto no expoente:
\frac{1}{800}\cdot 300=\frac{300}{800}=\frac{3}{8}=0,375.
  • Assim
P(T\le 300)=1-e^{-0,375}.

Passo 6

Calcular e^{-0,375} com uma aproximação que dá boa precisão sem calculadora (série de Taylor truncada).
  • Podemos usar a série de Taylor para e^{-x} centrada em 0:
e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}-\cdots
com x=0,375. Vamos calcular alguns termos:
  • x=0,375
  • x^{2}=0,375^{2}=0,140625
  • x^{3}=0,375^{3}=0,052734375
  • x^{4}=0,375^{4}=0,019775390625
  • Substituindo os primeiros quatro termos:
e^{-0,375}\approx 1-0,375+\frac{0,140625}{2}-\frac{0,052734375}{6}+\frac{0,019775390625}{24}.
  • Calculando passo a passo:
    • 1-0,375=0,625
    • \dfrac{0,140625}{2}=0,0703125 → somando: 0,625+0,0703125=0,6953125
    • \dfrac{0,052734375}{6}\approx 0,0087890625 → subtraindo: 0,6953125-0,0087890625=0,6865234375
    • \dfrac{0,019775390625}{24}\approx 0,000823141276 → somando: 0,6865234375+0,0008231413\approx 0,6873465788
  • Portanto uma boa aproximação é
e^{-0,375}\approx 0,6873.

Passo 7

Calcular a probabilidade final e interpretar.
  • Voltando à fórmula:
P(T\le 300)=1-e^{-0,375}\approx 1-0,6873=0,3127.
  • Em porcentagem, isso é aproximadamente 31,27\%.
  • Interpretação prática: cerca de 31\% das TVs vão falhar dentro das 300 horas de garantia, então a fábrica terá de substituir aproximadamente 31\% das unidades vendidas (na média), assumindo que a distribuição e a média informadas estão corretas.

Resposta

0,3127 (aproximadamente 31,27\%)

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