Uma fábrica de TV determinou que a vida de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo seguindo uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir uma TV gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: a vida útil das TVs produzidas segue uma distribuição exponencial com vida média de
horas de uso contínuo. - Informação 2: a fábrica oferece garantia de
horas de uso. - Pergunta: qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir uma TV gratuitamente (isto é, que a TV falhe durante o período de garantia de
horas)?
Passo 2
Vamos entender o que significa a distribuição exponencial e quais fórmulas usamos (a explicação é bem passo a passo, como você pediu).
- A variável aleatória que representa o tempo até a falha da TV será chamada de
. - A distribuição exponencial é usada para modelar tempos até um evento (aqui: falha) quando o evento tem uma taxa constante no tempo. O que importa para a resolução é que a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial dá a probabilidade de a falha ocorrer até um tempo
e vale
onde
é o parâmetro da exponencial (a taxa de falha por hora).
- A média (valor esperado) da exponencial relaciona-se com
assim:
Aqui,
é a média do tempo até a falha (já nos foi dada:
horas). Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
: tempo até a falha (em horas). -
: um tempo específico (em horas) — por exemplo, . -
: taxa de falha por hora (unidade: 1/hora). -
: probabilidade de que a TV falhe antes ou exatamente no tempo .
Passo 3
Determinar
a partir da média dada.
- Foi dada a média
horas. - Usando
, temos
- Resolve-se para
:
- Em forma decimal,
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida em termos da CDF exponencial.
- A fábrica terá de substituir gratuitamente quando a TV falhar dentro de
horas, ou seja, queremos . - Usando a fórmula da CDF:
Passo 5
Substituir
e simplificar o expoente.
- Substituindo
na expressão:
- Simplificando o produto no expoente:
- Assim
Passo 6
Calcular
com uma aproximação que dá boa precisão sem calculadora (série de Taylor truncada).
- Podemos usar a série de Taylor para
centrada em :
com
. Vamos calcular alguns termos:
-
-
-
-
- Substituindo os primeiros quatro termos:
- Calculando passo a passo:
-
-
→ somando: -
→ subtraindo: -
→ somando:
-
- Portanto uma boa aproximação é
Passo 7
Calcular a probabilidade final e interpretar.
- Voltando à fórmula:
- Em porcentagem, isso é aproximadamente
. - Interpretação prática: cerca de
das TVs vão falhar dentro das horas de garantia, então a fábrica terá de substituir aproximadamente das unidades vendidas (na média), assumindo que a distribuição e a média informadas estão corretas.