De acordo com a Organização Mundial da Saúde, a proporção de pessoas que sofrem de ansiedade no Brasil é de
. Se uma amostra piloto de 100 brasileiros for selecionada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção de brasileiros ansiosos na amostra seja menor que
?
(a) 0.6255
(b) 0.5398
© 0.5120
(d) 0.3745
(e) 0.4880
(a) 0.6255
(b) 0.5398
© 0.5120
(d) 0.3745
(e) 0.4880
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente sabe que, segundo a Organização Mundial da Saúde, 11% da população brasileira sofre de ansiedade. A pergunta é: se a gente selecionar 100 brasileiros de forma aleatória, qual a chance de que menos de 12% dessa amostra tenha ansiedade? Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma proporção da população. A proporção conhecida é $ p = 0.11 $ (11%), e o tamanho da amostra é $ n = 100 $. A proporção que queremos avaliar na amostra é $ \hat{p} = 0.12 $ (12%).
Passo 3
Para achar a probabilidade, vamos usar a distribuição normal como uma aproximação da distribuição da proporção amostral. Isso é válido porque o tamanho da amostra é grande o suficiente.
Passo 4
Primeiro, calculamos a média ($ \mu_{\hat{p}} $) da distribuição da proporção amostral, que é igual à proporção da população:
Passo 5
Agora, vamos calcular o desvio padrão ($ \sigma_{\hat{p}} $) da distribuição da proporção amostral usando a fórmula:
Passo 6
Com a média e o desvio padrão, podemos padronizar a proporção amostral para achar o valor z correspondente. Usamos a fórmula:
Passo 7
Agora, procuramos o valor de $ z = 0.32 $ na tabela da distribuição normal padrão. Esse valor nos dá a probabilidade acumulada até esse ponto. Para $ z = 0.32 $, a tabela nos fornece aproximadamente 0.6255.
Resposta
A probabilidade de que a proporção de brasileiros ansiosos na amostra seja menor que 12% é 0.6255.