Em uma determinada empresa foram registradas duas variáveis: X referente ao número de faltas e Y referente ao desempenho que é avaliado internamente. A distribuição de probabilidades conjunta de X e Y é dada por:
X backslash Y 1 2
1 0 0.64
2 0.07 0.01
4 0.27 0.01
Sabendo que E(X)=1.92, E(X^2)=5.44, E(Y)=1.66 e E(Y^2)=2.98, assinale a alternativa correspondente à correlação entre as variáveis X e Y.
(a) -0.82
(b) -0.57
© 0.09
(d) -0.91
(e) -0.51

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve Probabilidade e Estatística, mais especificamente, Correlação entre duas variáveis aleatórias. As variáveis são X (número de faltas) e Y (desempenho). A gente precisa encontrar a correlação entre elas usando a distribuição de probabilidades conjunta que foi fornecida. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a covariância e os desvios padrão de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a correlação entre duas variáveis X e Y é dada por:
rhoXY = Cov(X,Y)sigmaX sigmaY
Onde:
  • Cov(X,Y) é a covariância entre X e Y.
  • sigmaX é o desvio padrão de X.
  • sigmaY é o desvio padrão de Y.

Passo 3

A covariância é calculada por:
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Já temos os valores de E(X) e E(Y), mas precisamos encontrar E(XY). Para isso, multiplicamos cada par de valores de X e Y pela respectiva probabilidade conjunta e somamos todos.

Passo 4

Vamos calcular E(XY) usando a tabela de probabilidades:
E(XY) = sumx,y x cdot y cdot P(X=x, Y=y)
Calculando cada termo:
1 cdot 1 cdot 0 &= 0 1 cdot 2 cdot 0.64 &= 1.28 2 cdot 1 cdot 0.07 &= 0.14 2 cdot 2 cdot 0.01 &= 0.04 4 cdot 1 cdot 0.27 &= 1.08 4 cdot 2 cdot 0.01 &= 0.08
Somando tudo:
E(XY) = 0 + 1.28 + 0.14 + 0.04 + 1.08 + 0.08 = 2.62

Passo 5

Agora, podemos calcular a covariância:
Cov(X,Y) = 2.62 - (1.92 times 1.66) = 2.62 - 3.1872 = -0.5672

Passo 6

Vamos calcular os desvios padrão de X e Y. Primeiro, a variância de cada um:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5.44 - (1.92)^2 = 5.44 - 3.6864 = 1.7536
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 2.98 - (1.66)^2 = 2.98 - 2.7556 = 0.2244
Agora, os desvios padrão:
sigmaX = raiz1.7536 approx 1.3243
sigmaY = raiz0.2244 approx 0.4734

Passo 7

Finalmente, calculamos a correlação:
rhoXY = -0.56721.3243 times 0.4734 approx -0.56720.6263 approx -0.906
Arredondando, temos aproximadamente -0.91.

Resposta

A correlação entre as variáveis X e Y é -0.91. Portanto, a alternativa correta é a (d) -0.91.

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