Prove por indução matemática que
é ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro $ n \geq 1 $, a expressão $ 3^{n} - 2 $ é ímpar. Isso envolve conceitos de matemática discreta, especificamente a técnica de prova por indução. Vamos precisar entender o que é um número ímpar e como funciona a indução matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número é ímpar se ele pode ser escrito na forma $ 2k + 1 $, onde $ k $ é um inteiro. Agora, vamos aplicar a indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 3
Base da Indução: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para $ n = 1 $.
Calculando:
O número 1 é ímpar, já que pode ser escrito como $ 2 \times 0 + 1 $. Então, a base da indução é verdadeira.
Passo 4
Passo Indutivo: Suponha que para algum $ k \geq 1 $, a expressão $ 3^{k} - 2 $ é ímpar. Isso é a nossa hipótese de indução. Queremos mostrar que, sob essa suposição, $ 3^{k+1} - 2 $ também é ímpar.
Primeiro, vamos expressar $ 3^{k+1} $:
Então:
Passo 5
Agora, usando a hipótese de indução, sabemos que $ 3^{k} - 2 $ é ímpar. Vamos chamar isso de $ 2m + 1 $, onde $ m $ é algum inteiro.
Então:
Multiplicando por 3:
Subtraindo 2:
Isso está na forma $ 2k’ + 1 $, onde $ k’ = 3m + 3 $, o que mostra que $ 3^{k+1} - 2 $ é ímpar.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo $ n \geq 1 $, $ 3^{n} - 2 $ é ímpar.