Prove por indução matemática que forall n >= 1,3^n-2 é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro $ n \geq 1 $, a expressão $ 3^{n} - 2 $ é ímpar. Isso envolve conceitos de matemática discreta, especificamente a técnica de prova por indução. Vamos precisar entender o que é um número ímpar e como funciona a indução matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número é ímpar se ele pode ser escrito na forma $ 2k + 1 $, onde $ k $ é um inteiro. Agora, vamos aplicar a indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 3

Base da Indução: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para $ n = 1 $.
Calculando:
n = 1
O número 1 é ímpar, já que pode ser escrito como $ 2 \times 0 + 1 $. Então, a base da indução é verdadeira.

Passo 4

Passo Indutivo: Suponha que para algum $ k \geq 1 $, a expressão $ 3^{k} - 2 $ é ímpar. Isso é a nossa hipótese de indução. Queremos mostrar que, sob essa suposição, $ 3^{k+1} - 2 $ também é ímpar.
Primeiro, vamos expressar $ 3^{k+1} $:
k >= 1
Então:
3^k - 2

Passo 5

Agora, usando a hipótese de indução, sabemos que $ 3^{k} - 2 $ é ímpar. Vamos chamar isso de $ 2m + 1 $, onde $ m $ é algum inteiro.
Então:
3^k - 2
Multiplicando por 3:
2m + 1
Subtraindo 2:
m
Isso está na forma $ 2k’ + 1 $, onde $ k’ = 3m + 3 $, o que mostra que $ 3^{k+1} - 2 $ é ímpar.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo $ n \geq 1 $, $ 3^{n} - 2 $ é ímpar.

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