A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas
e
é dada por
, onde
e
podem assumir valores inteiros tal que
,
, e
em outro caso. Encontre
.
(a) 0.563
(b) 0.778
© 0.104
(d) 0.250
(e) 0.438
(a) 0.563
(b) 0.778
© 0.104
(d) 0.250
(e) 0.438
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade envolvendo duas variáveis aleatórias discretas, $ X $ e $ Y $. A função de probabilidade conjunta é dada por $ p(x, y) = \frac{x + 2y}{48} $, onde $ x $ pode ser 0, 1 ou 2, e $ y $ pode ser 0, 1, 2 ou 3. Queremos encontrar a probabilidade de $ X $ ser pelo menos 1, dado que $ Y $ é no máximo 2, ou seja, $ P(X \geq 1 \mid Y \leq 2) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ P(X \geq 1 \mid Y \leq 2) $. Isso é uma probabilidade condicional, que nos diz a chance de $ X $ ser 1 ou 2, dado que $ Y $ é 0, 1 ou 2.
A fórmula para probabilidade condicional é:
No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular $ P(Y \leq 2) $ primeiro. Isso significa somar todas as probabilidades onde $ y $ é 0, 1 ou 2, independente de $ x $.
Os valores possíveis de $ x $ são 0, 1 e 2. Então, temos:
Vamos calcular cada termo:
-
Para $ x = 0 $:
-
Para $ x = 1 $:
-
Para $ x = 2 $:
Somando todos esses valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X \geq 1 \cap Y \leq 2) $, que é a probabilidade de $ X $ ser 1 ou 2 e $ Y $ ser 0, 1 ou 2.
Usamos os mesmos valores que calculamos anteriormente, mas agora apenas para $ x = 1 $ e $ x = 2 $:
Calculando:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
Arredondando, temos aproximadamente 0,778.
Resposta
A probabilidade $ P(X \geq 1 \mid Y \leq 2) $ é aproximadamente 0,778.