A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y é dada por p(x, y)=(x+2 y) / 48, onde x e y podem assumir valores inteiros tal que 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 3, e p(x, y)=0 em outro caso. Encontre P(X >= 1 mid Y <= 2).
(a) 0.563
(b) 0.778
© 0.104
(d) 0.250
(e) 0.438

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade envolvendo duas variáveis aleatórias discretas, $ X $ e $ Y $. A função de probabilidade conjunta é dada por $ p(x, y) = \frac{x + 2y}{48} $, onde $ x $ pode ser 0, 1 ou 2, e $ y $ pode ser 0, 1, 2 ou 3. Queremos encontrar a probabilidade de $ X $ ser pelo menos 1, dado que $ Y $ é no máximo 2, ou seja, $ P(X \geq 1 \mid Y \leq 2) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ P(X \geq 1 \mid Y \leq 2) $. Isso é uma probabilidade condicional, que nos diz a chance de $ X $ ser 1 ou 2, dado que $ Y $ é 0, 1 ou 2.
A fórmula para probabilidade condicional é:
P(X >= 1 mid Y <= 2)
No nosso caso:
X

Passo 3

Vamos calcular $ P(Y \leq 2) $ primeiro. Isso significa somar todas as probabilidades onde $ y $ é 0, 1 ou 2, independente de $ x $.
Os valores possíveis de $ x $ são 0, 1 e 2. Então, temos:
P(Y <= 2)
Vamos calcular cada termo:
  • Para $ x = 0 $:
    y
    x
    x
  • Para $ x = 1 $:
    P(Y <= 2) = sumx=0^2 sumy=0^2 p(x, y)
    x = 0
    p(0,0) = 0 + 2 times 048 = 0
  • Para $ x = 2 $:
    p(0,1) = 0 + 2 times 148 = 248
    p(0,2) = 0 + 2 times 248 = 448
    x = 1
Somando todos esses valores:
p(1,0) = 1 + 2 times 048 = 148

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X \geq 1 \cap Y \leq 2) $, que é a probabilidade de $ X $ ser 1 ou 2 e $ Y $ ser 0, 1 ou 2.
Usamos os mesmos valores que calculamos anteriormente, mas agora apenas para $ x = 1 $ e $ x = 2 $:
P(X >= 1 cap Y <= 2)
Calculando:
X

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(X >= 1 mid Y <= 2) = P(X >= 1 cap Y <= 2)P(Y <= 2) = 21482748 = 2127 = 79 approx 0,777ldots
Arredondando, temos aproximadamente 0,778.

Resposta

A probabilidade $ P(X \geq 1 \mid Y \leq 2) $ é aproximadamente 0,778.

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