De acordo com a temática de continuidade de funções, verifique as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta:
I. O teorema do valor intermediário será verdadeiro para aquelas funções cujo gráfico apresente descontinuidade.
II. O corolário de Weierstrass afirma que se
é contínua, então f tem pontos de máximo e de mínimo em
.
III. O corolário de Weierstrass afirma que se
é contínua, então f não tem pontos de máximo e de mínimo em
.
IV. Sejam
e
. Se
para todo
, então diz-se que
é um ponto de mínimo de
em
. Nesse caso,
é o valor mínimo de f em
.
V. Sejam
e
. Se
para todo
, então
é dito ponto de máximo de
em
, e
é o valor máximo de
em B.
Escolha uma opção:
a. Apenas II está correta.
b. Apenas I e II estão corretas.
c. Apenas I e III estão corretas.
d. Apenas II e IV estão corretas.
e. Apenas III, IV e V estão corretas.
I. O teorema do valor intermediário será verdadeiro para aquelas funções cujo gráfico apresente descontinuidade.
II. O corolário de Weierstrass afirma que se
III. O corolário de Weierstrass afirma que se
IV. Sejam
V. Sejam
a. Apenas II está correta.
b. Apenas I e II estão corretas.
c. Apenas I e III estão corretas.
d. Apenas II e IV estão corretas.
e. Apenas III, IV e V estão corretas.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre continuidade de funções e pede para identificar quais estão corretas. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, o Corolário de Weierstrass e as definições de pontos de máximo e mínimo para verificar cada item.
Passo 2
Análise de I. O Teorema do Valor Intermediário exige que a função seja contínua no intervalo considerado para garantir que ela assume todos os valores intermediários. Logo, se o gráfico apresentar descontinuidade, o Teorema do Valor Intermediário não é aplicável. Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Análise de II. O Corolário de Weierstrass realmente diz que se
é contínua, então
atinge um ponto de máximo e um ponto de mínimo em
. Logo, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Análise de III. Esta afirmação é o exato oposto do Corolário de Weierstrass. Como o corolário garante que há pontos de máximo e mínimo, dizer que não há é falso. Portanto, III é falsa.
Passo 5
Análise de IV e V.
– Em IV diz-se que se para todo
, então
é ponto de mínimo, mas essa condição define um máximo.
– Em V diz-se que se para todo
, então
é ponto de máximo, mas essa condição define um mínimo.
Portanto, ambas IV e V estão incorretas.
– Em IV diz-se que se
– Em V diz-se que se
Portanto, ambas IV e V estão incorretas.
Resposta
(a) Apenas II está correta.