Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{4-2 s}{s^{3}+4 s}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{4 - 2s}{s^3 + 4s}\Bigr\}.
O conteúdo que vamos usar é a decomposição em frações parciais e as transformadas inversas conhecidas de \frac1s, \frac{s}{s^2+a^2} e \frac{a}{s^2+a^2}.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^3+4s = s\,(s^2+4).
Logo podemos reescrever
\frac{4-2s}{s^3+4s} \;=\;\frac{4-2s}{s\,(s^2+4)}.

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais:
\frac{4-2s}{s\,(s^2+4)} =\frac{A}{s}+\frac{B\,s+C}{s^2+4}.
Multiplicando ambos os lados por s\,(s^2+4) obtemos
4-2s = A\,(s^2+4) + (B\,s+C)\,s.

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes em s^2\), \(s\) e termo constante: \[A\,s^2 + 4A + B\,s^2 + C\,s = (A+B)\,s^2 + C\,s + 4A
deve ser igual a
0\cdot s^2 \;-\;2\,s + 4.
Assim,
\begin{cases} A + B = 0,\\\ C = -2,\\\\ 4A = 4. \end{cases}
Dessa forma A=1\], \(B=-1 e C=-2.

Passo 5

Substituindo os valores achados, temos
\frac{4-2s}{s\,(s^2+4)} = \frac{1}{s} \;-\;\frac{s}{s^2+4} \;-\;\frac{2}{s^2+4}.
Agora usamos as inversas conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos(2t), \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s^2+4}\}=\sin(2t).

Passo 6

Portanto a transformada inversa é
f(t) \;=\;1 \;-\;\cos(2t)\;-\;\sin(2t).

Resposta

\boxed{f(t)=1 - \cos(2t) - \sin(2t).}

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