De acordo com a teoria cinética dos gases, qual a tendência de comportamento da velocidade (de átomos e moléculas) em relação a temperatura e massa molar.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a tendência de comportamento da velocidade de átomos e moléculas em relação à temperatura e à massa molar.
Informações dadas (implícitas no enunciado): temos partículas (átomos ou moléculas) em um gás a uma temperatura T e cada espécie tem uma massa molar M. Queremos saber como a velocidade típica dessas partículas varia quando mudamos T e quando mudamos M.

Passo 2

Princípio físico básico: energia cinética média por partícula na teoria cinética dos gases.
A teoria cinética diz que a energia cinética média por partícula (átomo ou molécula) é proporcional à temperatura absoluta. A relação é
\langle E_{\text{cin}}\rangle = \tfrac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T,
onde k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann ( k_{\mathrm{B}}\approx 1,3807\cdot 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}) e T é a temperatura em kelvin.
Explicando: \langle E_{\text{cin}}\rangle é a média das energias cinéticas translacionais das partículas; aumentar T aumenta diretamente essa energia média.

Passo 3

Relacionando energia cinética média com velocidade característica (velocidade quadrática média).
A energia cinética de uma partícula de massa m movendo-se com velocidade típica v_{\mathrm{rms}} é \tfrac{1}{2}m v_{\mathrm{rms}}^{2}. Igualando à energia média:
\tfrac{1}{2} m v_{\mathrm{rms}}^{2} = \tfrac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T.
Isolando v_{\mathrm{rms}} obtemos
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}.
Aqui m é a massa de uma única partícula (em kg). Note que toda a dependência em T e em m aparece dentro de uma raiz quadrada.

Passo 4

Expressando em termos de massa molar M (modo prático em química/física de gases).
A massa de uma partícula relaciona-se com a massa molar por m = \dfrac{M}{N_{\mathrm{A}}}, onde N_{\mathrm{A}} é o número de Avogadro ( N_{\mathrm{A}}\approx 6,022\cdot 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}). Usando R = N_{\mathrm{A}} k_{\mathrm{B}} (constante dos gases perfeitos, R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}), a fórmula de v_{\mathrm{rms}} vira
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 R T}{M}}.
Aqui M deve ser colocado em unidades de \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}. Essa forma é prática porque relaciona velocidade com a massa molar diretamente.

Passo 5

Outras velocidades características (para entender melhor a distribuição de velocidades).
A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem três velocidades características úteis:
v_{\text{mais provável}} = \sqrt{\dfrac{2 k_{\mathrm{B}} T}{m}},á
\bar{v}\\ (\text{velocidade média}) = \sqrt{\dfrac{8 k_{\mathrm{B}} T}{\pi m}},é
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}.
A ordem numérica é v_{\text{mais provável}} < \bar{v} < v_{\mathrm{rms}}á. Todas têm a mesma dependência funcional em T e m: crescem como \sqrt{T} e decaem como 1/\sqrt{m}.

Passo 6

Tendência geral e interpretação física (intuitiva e direta para a prova).
  • Dependência com a temperatura: como aparece uma raiz quadrada de T, a velocidade típica aumenta quando a temperatura aumenta, seguindo
v \propto \sqrt{T}.
Ou seja, dobrar a temperatura (em kelvin) aumenta a velocidade típica por um fator \sqrt{2}.
  • Dependência com a massa molar: como aparece 1/\sqrt{M}, partículas mais pesadas se movem mais lentamente à mesma temperatura:
v \propto \dfrac{1}{\sqrt{M}}.
Intuição: a mesma energia cinética média distribuída entre partículas maiores resulta em menor velocidade.

Passo 7

Exemplo numérico explicadinho (para fixar a ideia): comparação entre \mathrm{H_2} e \mathrm{O_2} a T=300\\ \mathrm{K}.
Massa molar aproximada em \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}:
M_{\mathrm{H_2}} \approx 0{,}002\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},\qquad M_{\mathrm{O_2}} \approx 0{,}032\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
Usando v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} com R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T=300\\ \mathrm{K}:
Cálculo para \mathrm{H_2}:
v_{\mathrm{rms},\mathrm{H_2}} = \sqrt{\dfrac{3\cdot 8{,}314\cdot 300}{0{,}002}} = \sqrt{\dfrac{7.482{,}6}{0{,}002}} = \sqrt{3.741.300} \approx 1{.}934\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Cálculo para \mathrm{O_2}:
v_{\mathrm{rms},\mathrm{O_2}} = \sqrt{\dfrac{3\cdot 8{,}314\cdot 300}{0{,}032}} = \sqrt{\dfrac{7.482{,}6}{0{,}032}} = \sqrt{233.831{,}25} \approx 484\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Relação entre elas:
\dfrac{v_{\mathrm{rms},\mathrm{H_2}}}{v_{\mathrm{rms},\mathrm{O_2}}}\approx 4,
ou seja, o hidrogênio se move cerca de quatro vezes mais rápido que o oxigênio à mesma temperatura, ilustrando bem a dependência v\propto 1/\sqrt{M}.

Passo 8

Comentários finais úteis para a prova (resumindo e motivando).
  • Sempre que vir uma pergunta sobre como velocidade depende de temperatura ou massa, lembre-se da raiz quadrada: velocidade típica cresce com \sqrt{T} e decresce com \sqrt{M}.
  • Use v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} quando trabalhar com massas molares; use v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}} quando trabalhar com massa por partícula.
  • Intuição prática: aumentar T dá “mais energia” e acelera as partículas; aumentar M deixa as partículas “mais pesadas”, então, para a mesma energia, elas ficam mais lentas. Você consegue usar isso direto na prova sem memorização complicada.

Resposta

A velocidade típica de átomos e moléculas aumenta com a raiz quadrada da temperatura: v\propto \sqrt{T}.
A velocidade típica diminui com a raiz quadrada da massa molar: v\propto 1/\sqrt{M}.
Fórmula útil: v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} (com M em \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}).

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