Defina:
Velocidade relativa média.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o conceito de “velocidade relativa média”.
Informações implícitas que vamos usar: geralmente temos dois corpos (ou pontos) A e B cujas posições variam no tempo. Queremos uma expressão que descreva, em média, quão rápido e em que direção um corpo se move em relação ao outro durante um intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é deslocamento e velocidade média de um único corpo. Isso é importante porque a velocidade relativa média se baseia nesses conceitos.
Deslocamento de um corpo X entre tempos t_1 e t_2 é a diferença de posições:
\Delta \mathbf{r}_X=\mathbf{r}_X(t_2)-\mathbf{r}_X(t_1).
Velocidade média de X no mesmo intervalo é deslocamento dividido pelo tempo:
\overline{\mathbf{v}}_X=\frac{\Delta \mathbf{r}_X}{\Delta t},\qquad\text{onde }\Delta t=t_2-t_1.
Aqui \mathbf{r}_X(t) é o vetor posição de X no tempo t; em 1D é só um número com sinal.

Passo 3

Agora a ideia física da velocidade relativa média: queremos medir o movimento de B visto a partir de A. Uma maneira direta é construir a posição relativa de B em relação a A:
\mathbf{r}_{B/A}(t)=\mathbf{r}_B(t)-\mathbf{r}_A(t).
Esse vetor aponta de A para B num dado instante. O deslocamento relativo entre t_1 e t_2 é
\Delta \mathbf{r}_{B/A}=\mathbf{r}_{B/A}(t_2)-\mathbf{r}_{B/A}(t_1).
Esse \Delta \mathbf{r}_{B/A} é precisamente o quanto o vetor que liga A a B mudou no intervalo.

Passo 4

Definimos então a velocidade relativa média de B em relação a A como o deslocamento relativo dividido pelo intervalo de tempo:
\overline{\mathbf{v}}_{B/A}=\frac{\Delta \mathbf{r}_{B/A}}{\Delta t}.
Expandindo \Delta \mathbf{r}_{B/A} usando \mathbf{r}_{B/A}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A, obtemos uma forma útil:
\overline{\mathbf{v}}_{B/A}=\frac{\Delta \mathbf{r}_B-\Delta \mathbf{r}_A}{\Delta t} =\frac{\Delta \mathbf{r}_B}{\Delta t}-\frac{\Delta \mathbf{r}_A}{\Delta t} =\overline{\mathbf{v}}_B-\overline{\mathbf{v}}_A.
Ou seja, a velocidade relativa média é a diferença entre as velocidades médias dos dois corpos no mesmo intervalo.

Passo 5

Interpretação física e sinal:
  • Se \overline{\mathbf{v}}_{B/A} for nulo, a separação média entre A e B não mudou (em média são móveis solidários).
  • Se \overline{\mathbf{v}}_{B/A} aponta no sentido de diminuir a distância, B está, em média, aproximando-se de A.
  • Em 1D, o módulo |\overline{v}_{B/A}| é a velocidade com que a distância entre A e B muda, e o sinal indica se estão se aproximando (negativo, conforme convenção) ou se afastando.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (1D, sem medo):
Suponha t_1=0 s e t_2=3 s. As posições são \,x_A(0)=2 m, x_A(3)=8 m, x_B(0)=10 m, x_B(3)=4 m. Calculemos:
\Delta x_A=8-2=6\\ \text{m},\qquad \overline{v}_A=\frac{6}{3}=2\\ \text{m/s},
\Delta x_B=4-10=-6\\ \text{m},\qquad \overline{v}_B=\frac{-6}{3}=-2\\ \text{m/s}.
Logo a velocidade relativa média de B em relação a A é
\overline{v}_{B/A}=\overline{v}_B-\overline{v}_A=-2-2=-4\\ \text{m/s}.
Interpretação: em média, B se aproxima de A a 4\\ \text{m/s}.

Passo 7

Relação com velocidade instantânea e dica de prova:
  • Se você reduzir \Delta t e calcular o limite, obtém a velocidade relativa instantânea:
\mathbf{v}_{B/A}(t)=\mathbf{v}_B(t)-\mathbf{v}_A(t).
  • Dica prática: numa prova, escolha um referencial prático (às vezes o referencial de A simplifica). Calcule deslocamentos ou velocidades médias de cada corpo no mesmo intervalo e subtraia: \overline{\mathbf{v}}_{B/A}=\overline{\mathbf{v}}_B-\overline{\mathbf{v}}_A. Lembre-se de manter vetores (direção e sentido) ou sinais em 1D.

Resposta

\displaystyle \overline{\mathbf{v}}_{B/A}=\frac{\mathbf{r}_B(t_2)-\mathbf{r}_B(t_1)-\big(\mathbf{r}_A(t_2)-\mathbf{r}_A(t_1)\big)}{t_2-t_1}=\overline{\mathbf{v}}_B-\overline{\mathbf{v}}_A

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