Defina:
Velocidade mais provável.

Passo 1

Você pediu para definir “Velocidade mais provável”. O enunciado é curto: somente quer a definição desse termo físico/estatístico. Não foram fornecidas outras informações.

Passo 2

Primeiro vamos entender o contexto físico em que essa expressão aparece. Em um gás ideal à temperatura \,T, as partículas (moléculas/átomos) têm várias velocidades distribuídas. A distribuição clássica para as velocidades em um gás ideal em equilíbrio térmico é a distribuição de Maxwell–Boltzmann. Essa distribuição dá a densidade de probabilidade para que uma partícula tenha velocidade com magnitude entre \,v e \,v+dv.
A forma da distribuição de velocidades (em módulo da velocidade) é:
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^{2} e^{-\frac{m v^{2}}{2kT}},
onde:
  • \,f(v) é a densidade de probabilidade para a velocidade em módulo (tal que \,f(v)\,dv é a fração de partículas com velocidade entre \,v e \,v+dv),
  • \,m é a massa de uma partícula,
  • \,k é a constante de Boltzmann,
  • \,T é a temperatura absoluta (em kelvin),
  • \,v\ge 0 é o módulo da velocidade.
Explicação das partes dessa fórmula, bem devagar: o fator v^{2} aparece por causa do número de estados possíveis com mesma magnitude de velocidade (geometria em espaço de velocidades); o expoente \exp(-m v^{2}/(2kT)) reflete a penalização energética: velocidades maiores têm energia cinética maior e, portanto, são menos prováveis.

Passo 3

Agora: o que significa exatamente “velocidade mais provável”? Em linguagem simples: é o valor de \,v que torna \,f(v) máximo — isto é, o pico da distribuição. Em termos práticos, é a velocidade que a maior fração de partículas tem (o modo da distribuição).
Matematicamente, para encontrar o modo da distribuição f(v) precisamos achar o ponto \,v tal que a derivada \,df/dv seja zero e que esse ponto seja um máximo (segunda derivada negativa, ou raciocínio semelhante).

Passo 4

Para achar o máximo de \,f(v) podemos simplificar: a constante fronta l 4\pi\left(\dfrac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} não depende de \,v, então o máximo de f(v) ocorre no máximo da função
g(v)=v^{2} e^{-a v^{2}},
onde definimos \,a=\dfrac{m}{2kT} (isto só para simplificar a notação). Agora calculamos a derivada de g(v):
\frac{dg}{dv} = \frac{d}{dv}\big(v^{2} e^{-a v^{2}}\big).
Usamos a regra do produto: se u(v)=v^{2} e w(v)=e^{-a v^{2}}, então
\frac{dg}{dv} = u'(v)w(v) + u(v)w'(v).
Calculando cada termo:
u'(v)=2v, \qquad w'(v)=e^{-a v^{2}}(-2a v).
Portanto
\frac{dg}{dv} = 2v e^{-a v^{2}} + v^{2} e^{-a v^{2}}(-2a v) = e^{-a v^{2}} \, v \, \big(2 - 2a v^{2}\big).

Passo 5

Para extremos, igualamos \,dg/dv=0. A expressão anterior se anula quando:
  • \,v=0, ou
  • \,2 - 2a v^{2}=0.
O caso \,v=0 corresponde a um mínimo relativo (na forma da distribuição de Maxwell existe pouco “acúmulo” exatamente em zero quando consideramos o pico principal em v>0), então o pico relevante vem da segunda condição. Resolvendo:
2 - 2a v^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a v^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{1}{a}.
Lembrando \,a=\dfrac{m}{2kT}, temos
v^{2}=\frac{1}{a}=\frac{2kT}{m},
logo a velocidade que maximiza f(v) é
v_{\text{mp}}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}.

Passo 6

Interpretação física e variantes da fórmula: \,v_{\text{mp}} é chamada de velocidade mais provável (ou modo da distribuição). Em termos de grandezas macroscópicas (usando massa molar \,M e constante dos gases \,R) a mesma fórmula pode ser escrita como
v_{\text{mp}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}},
onde \,M é a massa molar em kg·mol^{-1} e \,R é a constante dos gases perfeitos. Aqui usamos a relação \,k = R/N_A e \,m = M/N_A (com \,N_A o número de Avogadro).
Comparação com outras velocidades médias úteis:
\bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\quad\text{(velocidade média)}, \qquad v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\quad\text{(velocidade quadrática média)}.éáé
Normalmente tem-se a ordem numérica
v_{\text{mp}} < \bar v < v_{\text{rms}}.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para deixar concreto (sem pular etapas): para nitrogênio (\mathrm{N}_2) à temperatura \,T=300\\ \mathrm{K}, com massa molar \,M\approx 0{,}028\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}, usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
v_{\text{mp}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}} =\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}314\cdot 300}{0{,}028}} \approx 4{,}22\times 10^{2}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}
(ou seja, cerca de 422\\ \mathrm{m/s}). Isso significa que a velocidade mais frequentemente observada entre moléculas de \mathrm{N}_2 a 300\\ \mathrm{K} é cerca de 422\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Resumo didático rápido: a “velocidade mais provável” é o modo da distribuição de velocidades — o valor de \,v que torna a função densidade de probabilidade máxima. Para a distribuição de Maxwell–Boltzmann a fórmula final é simples e direta: \,v_{\text{mp}}=\sqrt{2kT/m}. Lembre-se de interpretar essa velocidade como o pico do histograma de velocidades, não como a média.

Resposta

A velocidade mais provável é a velocidade que corresponde ao pico (modo) da distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann; ela é dada por v_{\text{mp}}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}.

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