Defina:
Velocidade mais provável.
Velocidade mais provável.
Passo 1
Você pediu para definir “Velocidade mais provável”. O enunciado é curto: somente quer a definição desse termo físico/estatístico. Não foram fornecidas outras informações.
Passo 2
Primeiro vamos entender o contexto físico em que essa expressão aparece. Em um gás ideal à temperatura
, as partículas (moléculas/átomos) têm várias velocidades distribuídas. A distribuição clássica para as velocidades em um gás ideal em equilíbrio térmico é a distribuição de Maxwell–Boltzmann. Essa distribuição dá a densidade de probabilidade para que uma partícula tenha velocidade com magnitude entre
e
.
A forma da distribuição de velocidades (em módulo da velocidade) é:
onde:
-
é a densidade de probabilidade para a velocidade em módulo (tal que é a fração de partículas com velocidade entre e ), -
é a massa de uma partícula, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta (em kelvin), -
é o módulo da velocidade.
Explicação das partes dessa fórmula, bem devagar: o fator
aparece por causa do número de estados possíveis com mesma magnitude de velocidade (geometria em espaço de velocidades); o expoente
reflete a penalização energética: velocidades maiores têm energia cinética maior e, portanto, são menos prováveis.
Passo 3
Agora: o que significa exatamente “velocidade mais provável”? Em linguagem simples: é o valor de
que torna
máximo — isto é, o pico da distribuição. Em termos práticos, é a velocidade que a maior fração de partículas tem (o modo da distribuição).
Matematicamente, para encontrar o modo da distribuição
precisamos achar o ponto
tal que a derivada
seja zero e que esse ponto seja um máximo (segunda derivada negativa, ou raciocínio semelhante).
Passo 4
Para achar o máximo de
podemos simplificar: a constante fronta l
não depende de
, então o máximo de
ocorre no máximo da função
onde definimos
(isto só para simplificar a notação). Agora calculamos a derivada de
:
Usamos a regra do produto: se
e
, então
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 5
Para extremos, igualamos
. A expressão anterior se anula quando:
-
, ou -
.
O caso
corresponde a um mínimo relativo (na forma da distribuição de Maxwell existe pouco “acúmulo” exatamente em zero quando consideramos o pico principal em
), então o pico relevante vem da segunda condição. Resolvendo:
Lembrando
, temos
logo a velocidade que maximiza
é
Passo 6
Interpretação física e variantes da fórmula:
é chamada de velocidade mais provável (ou modo da distribuição). Em termos de grandezas macroscópicas (usando massa molar
e constante dos gases
) a mesma fórmula pode ser escrita como
onde
é a massa molar em kg·mol^{-1} e
é a constante dos gases perfeitos. Aqui usamos a relação
e
(com
o número de Avogadro).
Comparação com outras velocidades médias úteis:
Normalmente tem-se a ordem numérica
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para deixar concreto (sem pular etapas): para nitrogênio
à temperatura
, com massa molar
, usando
,
(ou seja, cerca de
). Isso significa que a velocidade mais frequentemente observada entre moléculas de
a
é cerca de
.
Passo 8
Resumo didático rápido: a “velocidade mais provável” é o modo da distribuição de velocidades — o valor de
que torna a função densidade de probabilidade máxima. Para a distribuição de Maxwell–Boltzmann a fórmula final é simples e direta:
. Lembre-se de interpretar essa velocidade como o pico do histograma de velocidades, não como a média.
Resposta
A velocidade mais provável é a velocidade que corresponde ao pico (modo) da distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann; ela é dada por