De acordo com uma teoria cosmológica houve (no Big Bang) a mesma quantidade de { }^{235} U e { }^{238} U. Atualmente, considerando M(t) a quantidade de { }^{235} U e N(t) a quantidade de { }^{238} U, tem-se que N(t)= 137.7 \times M(t). Considerando que a vida média do { }^{238} U é 4.51 \times 10^{9} anos e a do { }^{235} U é 7.1 \times 10^{8} anos. Calcule a idade do Universo.

Passo 1

O enunciado diz que no Big Bang havia quantidades iniciais iguais de {}^{235}U e {}^{238}U. Hoje, se M(t) é a quantidade de {}^{235}U e N(t) a de {}^{238}U, tem-se
N(t)=137{,}7\,M(t).
Sabendo que a vida média (tempo de vida médio) de {}^{235}U é \tau_{235}=7{,}1\times10^{8} anos e de {}^{238}U é \tau_{238}=4{,}51\times10^{9} anos, vamos usar o modelo de decaimento exponencial para estimar o tempo t, que corresponde à idade do Universo.

Passo 2

Em decaimento radioativo, a quantidade de um nuclídeo varia como
M(t)=M_{0}\,e^{-\lambda_{235}t}, \qquad N(t)=N_{0}\,e^{-\lambda_{238}t},
onde \lambda_{i}=1/\tau_{i} é a constante de decaimento. Como no início M_{0}=N_{0}, a razão atual é
\frac{N(t)}{M(t)} =\exp\bigl(-\lambda_{238}t+\lambda_{235}t\bigr) =\exp\bigl[t(\lambda_{235}-\lambda_{238})\bigr].

Passo 3

Igualando à razão dada pelo enunciado, obtemos
137{,}7 =\exp\bigl[t(\lambda_{235}-\lambda_{238})\bigr] \quad\Longrightarrow\quad t =\frac{\ln(137{,}7)}{\lambda_{235}-\lambda_{238}}.

Passo 4

Calculamos as constantes de decaimento:
\lambda_{235}=\frac{1}{\tau_{235}} =\frac{1}{7{,}1\times10^{8}} \approx1{,}408\times10^{-9}\,\text{ano}^{-1},
\lambda_{238}=\frac{1}{\tau_{238}} =\frac{1}{4{,}51\times10^{9}} \approx0{,}222\times10^{-9}\,\text{ano}^{-1}.
Logo,
\lambda_{235}-\lambda_{238} \approx(1{,}408-0{,}222)\times10^{-9} =1{,}186\times10^{-9}\,\text{ano}^{-1}.
Então
t =\frac{\ln(137{,}7)}{1{,}186\times10^{-9}} \approx\frac{4{,}924}{1{,}186\times10^{-9}} \approx4{,}15\times10^{9}\,\text{anos}.

Resposta

A idade do Universo, estimada por esse método, é aproximadamente
4{,}15\times10^{9}\\ \text{anos}.

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