Seja f(x) uma função derivável em x=1 e tal que f(1)=2 e f^{\prime}(1)=4. A derivada de y=\ln (f(x)) em x=1 é:
(a) 1 / 2
(b) 2
(c) 1 / 4
(d) 4
(e) 1

Passo 1

Resumindo, temos uma função f derivável em x=1, com f(1)=2 e f'(1)=4. Queremos a derivada de y=\ln\bigl(f(x)\bigr) em x=1. O conteúdo aqui é derivada de função composta e a regra da cadeia, além da derivada de \ln(u).

Passo 2

Pela regra da cadeia e sabendo que
\frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u},
temos
\frac{dy}{dx} =\frac{d}{dx}\ln\bigl(f(x)\bigr) =\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 3

Substituindo em x=1:
y'(1) =\frac{f'(1)}{f(1)} =\frac{4}{2} =2.

Resposta

(b)

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