Se uma substância diminuir a sua massa até a terceira parte em 30 anos. Qual é a vida média dessa substância?

Passo 1

O enunciado diz que uma substância sofre decaimento exponencial e, em 30 anos, sua massa fica reduzida a um terço da original. O conteúdo é decaimento radioativo (ou decaimento exponencial), e queremos calcular a vida média \tau dessa substância, isto é, o tempo médio de “sobrevivência” de uma partícula antes de decair.

Passo 2

No decaimento exponencial, a massa (ou número de núcleos) N(t) no instante t obedece à lei
N(t) = N_0 \, e^{-t/\tau},
onde N_0 é a massa inicial e \tau é a vida média. Ao normalizarmos, escrevemos
\frac{N(t)}{N_0} = e^{-t/\tau}.

Passo 3

Pelo enunciado, em t = 30 anos temos
\frac{N(30)}{N_0} = \frac{1}{3} = e^{-30/\tau}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) = -\frac{30}{\tau}.

Passo 4

Isolando \tau,
\tau = -\frac{30}{\ln\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)} = \frac{30}{\ln(3)}.
Numericamente,
\tau \approx \frac{30}{1,0986} \approx 27,3\text{ anos}.

Resposta

A vida média dessa substância é aproximadamente 27,3 anos.

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