Determine a transformada inversa de Laplace.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2 s+1}{s^{2}(s+1)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2s+1}{s^{2}(s+1)^{3}}\Bigr\}(t).
O conteúdo usado será: decomposição em frações parciais e as fórmulas padrão \mathscr{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathscr{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t, \mathscr{L}^{-1}\{1/(s+1)^{n}\}=t^{\,n-1}e^{-t}/(n-1)!.

Passo 2

Fazemos o ansatz de frações parciais:
\frac{2s+1}{s^{2}(s+1)^{3}} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}} +\frac{C}{s+1}+\frac{D}{(s+1)^{2}}+\frac{E}{(s+1)^{3}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+1)^{3} obtém-se
2s+1 =A\,s\,(s+1)^{3} +B\,(s+1)^{3} +C\,s^{2}(s+1)^{2} +D\,s^{2}(s+1) +E\,s^{2}.
Tomando s=0
1=B\cdot1\quad\Longrightarrow\quad B=1.
Tomando s=-1
-1=E\cdot1\quad\Longrightarrow\quad E=-1.

Passo 4

Para achar A,C,D\) expandimos em potências de \(s\) e comparamos coeficientes. A expansão geral leva a um polinômio \[(A+C)\,s^{4}+(3A+1+2C+D)\,s^{3}+(3A+3+C+D-1)\,s^{2}+(A+3)\,s+1.
Igualando aos coeficientes de 2s+1 (ou seja, 0s^{4}+0s^{3}+0s^{2}+2s+1) resulta o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\\\ 3A+1+2C+D=0,\\\\ 3A+3+C+D-1=0,\\\ A+3=2. \end{cases}
Da última equação A=-1\]. Então \(C=-A=1 e D sai de 3A+1+2C+D=0 dando D=0.
Assim
A=-1,\quad B=1,\quad C=1,\quad D=0,\quad E=-1.

Passo 5

Reescrevendo a decomposição com esses valores:
\frac{2s+1}{s^{2}(s+1)^{3}} =-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{3}}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac1s\Bigr\}= -1,\quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac1{s^2}\Bigr\}=t,\quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac1{s+1}\Bigr\}=e^{-t},\quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac1{(s+1)^3}\Bigr\} =-\frac{t^2}{2}\,e^{-t}.

Resposta

f(t)=t-1+e^{-t}\;-\;\frac{t^{2}}{2}\,e^{-t} \;=\;t-1+e^{-t}\Bigl(1-\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr).

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