De acordo com a 2^{\text {a }} Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra ( \rho ) como:
\rho=\frac{1}{A h} m,
onde A é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa ( m ) e a para a quantidade submersa ( h ) do corpo cilíndrico (copo),
(h \pm \delta h) \mathrm{cm}
2,5 \pm 0,1
3,5 \pm 0,1
4,5 \pm 0,1
(m \pm \delta m) \mathrm{g}
105,0 \pm 1,1
145,0 \pm 1,5
190,0 \pm 1,9
Considerando que o diâmetro da base do copo seja D=(7,30 \pm 0,05) \mathrm{cm}, FAÇA:
Calcule a densidade do líquido em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}.
Diâmetro da base (peguei deste dado no enunciado):D=(7,30\pm0,05)\\ \mathrm{cm}.
Observação sobre o método: o enunciado forneceu fórmulas de ajuste linear com pesos. Vou ajustar uma reta do tipo Y=aX+b com Y=m e X=h, usando pesos w_i=1/\sigma_i^2 onde \sigma_i é a incerteza em y_i (aqui tomamos \sigma_i=\delta m_i, pois as fórmulas de regressão ponderada dadas assumem erro apenas em Y). A relação teórica é m=\rho A\, h, logo o coeficiente angular a da reta ajustada corresponde a a=\rho A. Assim, depois de obter a e seu erro \sigma_a, calculo:\rho=\frac{a}{A},e uso propagação de erros para obter \sigma_\rho, incluindo a incerteza de A (que vem da incerteza de D).
Passo 2
Montar o ajuste linear ponderado (definições e escolha de incógnitas).
Comentário: o valor de b é pequeno comparado a Y (massas da ordem de 10^2 g), o que confirma que a aproximação m\propto h (reta passando pela origem) é compatível com os dados; porém tomei a forma geral para obter o melhor ajuste ponderado.]
Passo 5
Incerteza do coeficiente angular a.
As fórmulas dadas fornecem:
\sigma_a^2=\frac{\sum_i w_i}{\Delta}.
Como \Delta=\big(\sum_i w_i\big)S_{xx}, isso simplifica para