De acordo com a 2^{\text {a }} Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra ( \rho ) como:
\rho=\frac{1}{A h} m,
onde A é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa ( m ) e a para a quantidade submersa ( h ) do corpo cilíndrico (copo),
(h \pm \delta h) \mathrm{cm} 2,5 \pm 0,1 3,5 \pm 0,1 4,5 \pm 0,1
(m \pm \delta m) \mathrm{g} 105,0 \pm 1,1 145,0 \pm 1,5 190,0 \pm 1,9
Considerando que o diâmetro da base do copo seja D=(7,30 \pm 0,05) \mathrm{cm}, FAÇA:
Calcule a densidade do líquido em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}.
\begin{gathered} Y=a X+b ; \\ a=\frac{\left(\sum_{i} w_{i}\right)\left(\sum w_{i} y_{i} x_{i}\right)-\left(\sum_{i} w_{i} y_{i}\right)\left(\sum_{i} w_{i} x_{i}\right)}{\Delta} \\ b=\frac{\left(\sum_{i} w_{i} y_{i}\right)\left(\sum_{i} w_{i} x_{i}^{2}\right)-\left(\sum_{i} w_{i} y_{i} x_{i}\right)\left(\sum_{i} w_{i} x_{i}\right)}{\Delta} \\ \sigma_{a}^{2}=\frac{\left(\sum_{i} w_{i}\right)}{\Delta} ; \quad \sigma_{b}^{2}=\frac{\left(\sum_{i} w_{i} x_{i}^{2}\right)}{\Delta} ; \\ \Delta=\left(\sum_{i} w_{i}\right)\left(\sum_{i} w_{i} x_{i}^{2}\right)-\left(\sum_{i} w_{i} x_{i}\right)^{2} ; w_{i}=\frac{1}{\sigma_{i}^{2}} \end{gathered} ]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede para calcular a densidade do líquido em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
  • Relação teórica (obtida do equilíbrio pelo Princípio de Arquimedes / 2ª Lei de Newton, para o corpo cilíndrico): \rho=\frac{1}{A\,h}\,m,onde:
    • \rho é a densidade do líquido em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3},
    • m é a massa submersa em \mathrm{g},
    • h é o comprimento submerso em \mathrm{cm},
    • A é a área da base do cilindro em \mathrm{cm}^2.
  • Dados experimentais (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • (h\pm \delta h)\\ \mathrm{cm}: (2,5\pm0,1),\\ (3,5\pm0,1),\\ (4,5\pm0,1).
    • (m\pm \delta m)\\ \mathrm{g}: (105,0\pm1,1),\\ (145,0\pm1,5),\\ (190,0\pm1,9).
  • Diâmetro da base (peguei deste dado no enunciado): D=(7,30\pm0,05)\\ \mathrm{cm}.
  • Observação sobre o método: o enunciado forneceu fórmulas de ajuste linear com pesos. Vou ajustar uma reta do tipo Y=aX+b com Y=m e X=h, usando pesos w_i=1/\sigma_i^2 onde \sigma_i é a incerteza em y_i (aqui tomamos \sigma_i=\delta m_i, pois as fórmulas de regressão ponderada dadas assumem erro apenas em Y). A relação teórica é m=\rho A\, h, logo o coeficiente angular a da reta ajustada corresponde a a=\rho A. Assim, depois de obter a e seu erro \sigma_a, calculo: \rho=\frac{a}{A},e uso propagação de erros para obter \sigma_\rho, incluindo a incerteza de A (que vem da incerteza de D).

Passo 2

Montar o ajuste linear ponderado (definições e escolha de incógnitas).
  • Defino: X_i = h_i,\qquad Y_i = m_i,\qquad \sigma_i = \delta m_i,\qquad w_i=\frac{1}{\sigma_i^2}.
  • Valores numéricos (peguei-os da tabela): \begin{array}{c|ccc} i & X_i\\ (\mathrm{cm}) & Y_i\\ (\mathrm{g}) & \sigma_i\\ (\mathrm{g})\\hline 1 & 2,5 & 105,0 & 1,1\\\\ 2 & 3,5 & 145,0 & 1,5\\\\ 3 & 4,5 & 190,0 & 1,9 \end{array}
  • Cálculo dos pesos: w_1=\frac{1}{1{,}1^2}=0{,}82644628099,\quad w_2=\frac{1}{1{,}5^2}=0{,}44444444444,\quad w_3=\frac{1}{1{,}9^2}=0{,}27700831025.

Passo 3

Calcular as somas necessárias para a regressão ponderada.
Vou calcular as quantidades:
\sum w_i,\quad \sum w_i x_i,\quad \sum w_i y_i,\quad \sum w_i x_i^2,\quad \sum w_i x_i y_i.
Usando os w_i e os dados:
\begin{aligned} \sum_i w_i &= 0{,}82644628099 + 0{,}44444444444 + 0{,}27700831025 = 1{,}54789903569,\\[4pt] \sum_i w_i x_i &= 0{,}82644628099\cdot2{,}5 + 0{,}44444444444\cdot3{,}5 + 0{,}27700831025\cdot4{,}5 \\\ &= 2{,}06611570248 + 1{,}55555555556 + 1{,}24653739512 = 4{,}86820865316,\\[4pt] \sum_i w_i y_i &= 0{,}82644628099\cdot105{,}0 + 0{,}44444444444\cdot145{,}0 + 0{,}27700831025\cdot190{,}0 \\\ &= 86{,}77685950413 + 64{,}44444444444 + 52{,}63157894737 = 203{,}85288289594,\\[4pt] \sum_i w_i x_i^2 &= 0{,}82644628099\cdot(2{,}5)^2 + 0{,}44444444444\cdot(3{,}5)^2 + 0{,}27700831025\cdot(4{,}5)^2 \\\ &= 5{,}165276755 + 5{,}44444444444 + 5{,}60941828255 = 16{,}21913948199,\\[4pt] \sum_i w_i x_i y_i &= 0{,}82644628099\cdot105{,}0\cdot2{,}5 + 0{,}44444444444\cdot145{,}0\cdot3{,}5 + 0{,}27700831025\cdot190{,}0\cdot4{,}5 \\\ &= 216{,}94214876033 + 225{,}55555555556 + 236{,}84210526216 = 679{,}33980957804. \end{aligned}
(Valores apresentados com precisão suficiente para os cálculos seguintes.)]

Passo 4

Calcular os coeficientes da reta ajustada Y=aX+b pelos fórmulas ponderadas.
Usando as fórmulas dadas:
\Delta=\Big(\sum_i w_i\Big)\Big(\sum_i w_i x_i^2\Big)-\Big(\sum_i w_i x_i\Big)^2.
Com os valores calculados:
\begin{aligned} \Delta &= 1{,}54789903569\cdot 16{,}21913948199 - (4{,}86820865316)^2 \\\ &\approx 1{,}54789903569\cdot16{,}21913948199 - 23{,}703944\dots \\\ &\approx 1{,}407815\dots \quad\text{(faixa numérica; usarei a forma alternativa abaixo).} \end{aligned}é
Para maior clareza e evitar arredondamentos em excesso, é conveniente trabalhar com as quantidades centradas:
\overline{x}_w=\frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i},\qquad \overline{y}_w=\frac{\sum_i w_i y_i}{\sum_i w_i}.
Calculando:
\overline{x}_w=\frac{4{,}86820865316}{1{,}54789903569}\approx3{,}145957915,\qquad \overline{y}_w=\frac{203{,}85288289594}{1{,}54789903569}\approx131{,}758726.
As somas centradas úteis são:
\begin{aligned} S_{xx} &= \sum_i w_i(x_i-\overline{x}_w)^2 = \sum_i w_i x_i^2 - \frac{(\sum_i w_i x_i)^2}{\sum_i w_i} \approx 0{,}9084425,\\[4pt] S_{xy} &= \sum_i w_i(x_i-\overline{x}_w)(y_i-\overline{y}_w) = \sum_i w_i x_i y_i - \frac{(\sum_i w_i x_i)(\sum_i w_i y_i)}{\sum_i w_i} \\\ &\approx 38{,}2137769. \end{aligned}
Portanto o coeficiente angular e o intercepto (formas equivalentes às dadas no enunciado) são:
a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\approx\frac{38{,}2137769}{0{,}9084425}\approx42{,}074\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}},
b=\overline{y}_w - a\,\overline{x}_w \approx 131{,}7587 - 42{,}074\cdot 3{,}145958 \approx -0{,}60\\ \mathrm{g}.
Comentário: o valor de b é pequeno comparado a Y (massas da ordem de 10^2 g), o que confirma que a aproximação m\propto h (reta passando pela origem) é compatível com os dados; porém tomei a forma geral para obter o melhor ajuste ponderado.]

Passo 5

Incerteza do coeficiente angular a.
As fórmulas dadas fornecem:
\sigma_a^2=\frac{\sum_i w_i}{\Delta}.
Como \Delta=\big(\sum_i w_i\big)S_{xx}, isso simplifica para
\sigma_a^2=\frac{1}{S_{xx}}\quad\Longrightarrow\quad\sigma_a=\frac{1}{\sqrt{S_{xx}}}.
Com S_{xx}\approx0{,}9084425 obtemos
\sigma_a\approx\frac{1}{\sqrt{0{,}9084425}}\approx1{,}049.
Logo:
a=(42{,}07\pm1{,}05)\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}}.

Passo 6

Cálculo da área da base A do cilindro e sua incerteza.
A área da base do cilindro é:
A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2=\frac{\pi D^2}{4}.
Com D=(7{,}30\pm0{,}05)\\ \mathrm{cm} (peguei do enunciado):
D^2=7{,}30^2=53{,}29\\ \mathrm{cm}^2,
A=\frac{\pi\cdot53{,}29}{4}\approx41{,}8538\\ \mathrm{cm}^2.
Propagação de erro em A (derivada): \dfrac{dA}{dD}=\dfrac{\pi}{2}D, então
\sigma_A=\left|\frac{dA}{dD}\right|\sigma_D=\frac{\pi}{2}D\,\sigma_D.
Numericamente:
\sigma_A\approx\frac{\pi}{2}\cdot7{,}30\cdot0{,}05\approx0{,}5735\\ \mathrm{cm}^2.
(Observação: a mesma relação de incerteza pode ser escrita em termos relativos: \dfrac{\sigma_A}{A}=2\,\dfrac{\sigma_D}{D}.)
Portanto:
A=(41{,}8538\pm0{,}5735)\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 7

Cálculo da densidade \rho e propagação do erro.
Temos a=\rho A, logo
\rho=\frac{a}{A}.
Substituindo a e A:
\rho\approx\frac{42{,}074\\ \mathrm{g/cm}}{41{,}8538\\ \mathrm{cm}^2}\approx1{,}00524\\ \mathrm{g/cm^3}.
Propagação do erro (assumindo a e A independentes):
\left(\frac{\sigma_\rho}{\rho}\right)^2=\left(\frac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\frac{\sigma_A}{A}\right)^2.
Calcule as parcelas:
\frac{\sigma_a}{a}\approx\frac{1{,}049}{42{,}074}\approx0{,}02495,\qquad \frac{\sigma_A}{A}\approx\frac{0{,}5735}{41{,}8538}\approx0{,}01370.
Assim:
\frac{\sigma_\rho}{\rho}\approx\sqrt{0{,}02495^2+0{,}01370^2}\approx0{,}02847,
portanto
\sigma_\rho\approx\rho\cdot0{,}02847\approx1{,}00524\cdot0{,}02847\approx0{,}0286\\ \mathrm{g/cm^3}.
Arredondando para incerteza com 2 algarismos significativos e a densidade compatível com isso:
\rho=(1{,}01\pm0{,}03)\\ \mathrm{g/cm^3}.

Resposta

\rho=(1{,}01\pm0{,}03)\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}

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