Acredita-se que 20 \% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso e calcule o número médio e variância de alérgicos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes dados diretamente do enunciado):
  • Probabilidade de um morador ser alérgico: p=0{,}20 (ou seja, 20\%).
  • Número de moradores selecionados: n=13.
    O enunciado pede:
  1. Calcular a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados.
  2. Calcular o número médio (valor esperado) e a variância do número de alérgicos na amostra.

Passo 2

Interpretação do modelo e escolha do método (explicação didática).
Quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada tentativa com duas possibilidades (sucesso = “é alérgico” com probabilidade p; fracasso = “não é alérgico” com probabilidade 1-p), o número de sucessos X segue uma distribuição cujo termo geral é dado por combinações e potências de p e 1-p. A fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k das n tentativas foram sucessos;
  • p^{k} é a probabilidade de que essas k específicas sejam sucessos;
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que as restantes sejam fracassos.
No nosso caso, n=13 e p=0{,}20. Queremos P(X\ge 4). Em provas costuma ser mais rápido usar a complementar:
P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-\sum_{k=0}^{3} P(X=k).

Passo 3

Calcular P(X=k) para k=0,1,2,3. Primeiro definimos q=1-p=0{,}80.
Vamos achar os coeficientes binomiais necessários:
\binom{13}{0}=1,\qquad \binom{13}{1}=13,\qquad \binom{13}{2}=78,\qquad \binom{13}{3}=286.
Agora os termos individuais (mostrando os cálculos):
P(X=0)=\binom{13}{0}p^{0}q^{13}=1\cdot(0{,}2)^{0}(0{,}8)^{13}=(0{,}8)^{13}=0{,}0549755813888.
P(X=1)=\binom{13}{1}p^{1}q^{12}=13\cdot(0{,}2)(0{,}8)^{12}=13\cdot0{,}2\cdot0{,}068719476736=0{,}1786706395136.
P(X=2)=\binom{13}{2}p^{2}q^{11}=78\cdot(0{,}2)^{2}(0{,}8)^{11}=78\cdot0{,}04\cdot0{,}08589934592=0{,}2680059592704.
P(X=3)=\binom{13}{3}p^{3}q^{10}=286\cdot(0{,}2)^{3}(0{,}8)^{10}=286\cdot0{,}008\cdot0{,}1073741824=0{,}2456721293312.

Passo 4

Somamos as probabilidades de 0 a 3 e aplicamos a complementar:
\sum_{k=0}^{3}P(X=k)=0{,}0549755813888+0{,}1786706395136+0{,}2680059592704+0{,}2456721293312=0{,}747324309504.
Portanto
P(X\ge 4)=1-0{,}747324309504=0{,}252675690496\approx0{,}2527.
Interpretação rápida: a chance de ter pelo menos 4 alérgicos em 13 pessoas é cerca de 25{,}27\%.

Passo 5

Calcular o número médio (esperança) e a variância — fórmulas e explicação.
Para a distribuição que usamos (a fórmula com combinação acima), vale que:
\text{Esperança: }\mathbb{E}[X]=n\,p,ç
\text{Variância: }\operatorname{Var}(X)=n\,p\,(1-p)=n\,p\,q.â
Aqui n=13, p=0{,}20, q=0{,}80. Então
\mathbb{E}[X]=13\cdot0{,}20=2{,}6,
\operatorname{Var}(X)=13\cdot0{,}20\cdot0{,}80=13\cdot0{,}16=2{,}08.
Comentário motivador: isso significa que, em média, espera-se cerca de 2{,}6 alérgicos em amostras de 13 pessoas, e a dispersão quadrática típica em torno dessa média é 2{,}08.

Resposta

P(X\ge 4)=0{,}252675690496\approx0{,}2527
\mathbb{E}[X]=2{,}6
\operatorname{Var}(X)=2{,}08

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