Acredita-se que
dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso e calcule o número médio e variância de alérgicos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes dados diretamente do enunciado):
- Probabilidade de um morador ser alérgico:
(ou seja, ). - Número de moradores selecionados:
.
O enunciado pede:
- Calcular a probabilidade de que pelo menos
moradores tenham alergia entre os selecionados. - Calcular o número médio (valor esperado) e a variância do número de alérgicos na amostra.
Passo 2
Interpretação do modelo e escolha do método (explicação didática).
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada tentativa com duas possibilidades (sucesso = “é alérgico” com probabilidade
; fracasso = “não é alérgico” com probabilidade
), o número de sucessos
segue uma distribuição cujo termo geral é dado por combinações e potências de
e
. A fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é:
Quando temos um número fixo
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais das tentativas foram sucessos; -
é a probabilidade de que essas específicas sejam sucessos; -
é a probabilidade de que as restantes sejam fracassos.
No nosso caso,
e
. Queremos
. Em provas costuma ser mais rápido usar a complementar:
Passo 3
Calcular
para
. Primeiro definimos
.
Vamos achar os coeficientes binomiais necessários:
Vamos achar os coeficientes binomiais necessários:
Agora os termos individuais (mostrando os cálculos):
Passo 4
Somamos as probabilidades de
a
e aplicamos a complementar:
Portanto
Interpretação rápida: a chance de ter pelo menos 4 alérgicos em 13 pessoas é cerca de
.
Passo 5
Calcular o número médio (esperança) e a variância — fórmulas e explicação.
Para a distribuição que usamos (a fórmula com combinação acima), vale que:
Para a distribuição que usamos (a fórmula com combinação acima), vale que:
Aqui
,
,
. Então
Comentário motivador: isso significa que, em média, espera-se cerca de
alérgicos em amostras de
pessoas, e a dispersão quadrática típica em torno dessa média é
.