Mostre que a composição de rotações em R^{3} forma um grupo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a composição de rotações em \mathbb{R}^{3} forma um grupo.
Informações relevantes e o que precisa ser provado:
O conjunto em questão é o conjunto de todas as rotações de \mathbb{R}^{3}.
A operação considerada é a composição de transformações (fazer uma rotação seguida de outra).
Para provar que isso forma um grupo, preciso verificar as quatro propriedades de grupo para esse conjunto com essa operação:
Fechamento (a composição de duas rotações é uma rotação).
Associatividade da operação.
Existência de elemento neutro (uma rotação que, composta com qualquer outra, deixa-a igual).
Existência de inversos (cada rotação tem uma rotação inversa que anula seu efeito).
Vou usar a representação matricial das rotações (matrizes 3\times3) para tornar os argumentos algébricos e diretos.
Passo 2
Definição e representação útil das rotações (explicação didática).
Uma rotação em \mathbb{R}^{3} é uma transformação linear que preserva distâncias e orientações. Em termos matriciais, uma rotação corresponde a uma matriz R\in M_{3}(\mathbb{R}) que satisfazR^{T}R=Ie\det R = 1.Matematicamente, o conjunto de todas essas matrizes é chamado de \mathrm{SO}(3) (grupo especial ortogonal de dimensão 3).
Explicando as duas condições:
R^{T}R=I significa que R é ortogonal; geometricamente garante que R preserva comprimentos e ângulos (é um isométrico linear).
\det R=1 garante que a orientação é preservada (essa condição exclui reflexões, que também são ortogonais mas têm \det=-1).
Conclusão prática: vou provar as propriedades de grupo para o conjunto \mathrm{SO}(3)=\{R\in M_{3}(\mathbb{R}) \mid R^{T}R=I,\\ \det R=1\} com a operação sendo multiplicação de matrizes (que corresponde à composição de transformações).
Passo 3
Associatividade (explicação e prova).
Observação: composição de transformações lineares corresponde a multiplicação de matrizes. A multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis A,B,C,(AB)C = A(BC).
Assim, a composição de rotações é associativa porque ela é multiplicação de matrizes associativa. Não é preciso demonstrar mais; essa é uma propriedade básica de matrizes.
Passo 4
Fechamento (mostrar que o produto de duas rotações é novamente uma rotação).
Seja A e B duas rotações, isto é, A^{T}A=I, B^{T}B=I e \det A=\det B=1. Considere C=AB que corresponde à composição da rotação B seguida da rotação A.
Verificar ortogonalidade de C:C^{T}C = (AB)^{T}(AB) = B^{T}A^{T}AB = B^{T}(A^{T}A)B = B^{T}IB = B^{T}B = I.Portanto C^{T}C=I, logo C é ortogonal.
Verificar determinante:\det C = \det(AB)=\det A\cdot\det B = 1\cdot 1 = 1.Portanto \det C=1.
Conclusão: C\in\mathrm{SO}(3). Isso prova o fechamento: a composição de duas rotações é uma rotação.
Passo 5
Elemento neutro (identidade) — existência e interpretação.
A matriz identidade I satisfaz I^{T}I=I e \det I=1, logo I\in\mathrm{SO}(3).
Em termos geométricos, I é a rotação “trivial” (girar por ângulo zero). Para qualquer rotação R,IR = RI = R,ou seja, I é o elemento neutro para a composição. Assim, a propriedade de existência de elemento neutro está satisfeita.
Passo 6
Inversos — existência e construção explícita.
Para R\in\mathrm{SO}(3) temos R^{T}R=I. Isso implica que R^{T}=R^{-1}. Portanto R é invertível e sua inversa é R^{-1}=R^{T}.
Verificar que R^{-1} também pertence a \mathrm{SO}(3):
Ortogonalidade: (R^{-1})^{T}R^{-1}=(R^{T})^{T}R^{T}=RR^{T}=I (ou simplesmente note que transposta de ortogonal é ortogonal).
Determinante: \det(R^{-1})=\det(R)^{-1}=1^{-1}=1.
Geometricamente, R^{-1} é a rotação no mesmo eixo com ângulo oposto (girar de volta). Logo cada rotação tem um inverso que é também uma rotação.
Passo 7
Conclusão formal e comentário extra.
Reunindo: o conjunto \mathrm{SO}(3) das rotações em \mathbb{R}^{3} é fechado sob composição, a operação é associativa, existe elemento neutro I\in\mathrm{SO}(3) e todo elemento tem inverso em \mathrm{SO}(3). Portanto (\mathrm{SO}(3),\\ \text{composição}) é um grupo.
Observação útil para a prova (didática): esse grupo é não comutativo (não abeliano) em geral — czyli, em geral AB\neq BA para rotações em \mathbb{R}^{3}. Um exemplo simples e frequentemente usado em provas é compor duas rotações em torno de eixos diferentes: a ordem importa.
Passo 8
Exemplo concreto (para fixar a ideia).
Rotação em torno do eixo z por ângulo \alpha tem matrizR_{z}(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\[4pt] \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando R_{z}(\alpha) por R_{z}(\beta) obtém-seR_{z}(\alpha)R_{z}(\beta)=R_{z}(\alpha+\beta),mostrando de maneira explícita que a composição de duas rotações (no mesmo eixo) é a rotação cujo ângulo é a soma — e que permanece no conjunto. Isso é um exemplo concreto do fechamento e do comportamento do elemento neutro e inverso (o inverso de R_{z}(\alpha) é R_{z}(-\alpha)).]
Resposta
O conjunto das rotações de \mathbb{R}^{3} com a operação composição forma um grupo; esse grupo é \mathrm{SO}(3).