8.7 Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção para a seção de máxima velocidade?
[\Delta Q=97,6 \%]

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O que se pede: calcular o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção (metade da seção circular preenchida) para a chamada “seção de máxima velocidade”.
  • Informações relevantes (implícitas no problema):
    • A velocidade média em escoamentos uniformes em canais depende do raio hidráulico; usaremos a fórmula de escoamento uniforme (Manning/Chezy). Aqui adotamos a forma clássica de Manning que dá a vazão proporcional a A\,R_h^{2/3}, onde:
      • A é a área molhada (área da superfície molhada),
      • R_h é o raio hidráulico definido por R_h = \dfrac{A}{P}, com P o perímetro molhado.
    • “Seção de máxima velocidade” significa a profundidade para a qual a velocidade média é máxima. Como, na fórmula de Manning, a velocidade média V\propto R_h^{2/3} (para mesma inclinação e rugosidade), a velocidade média é máxima quando o raio hidráulico R_h é máximo. Portanto, devemos:
      1. achar a posição (profundidade, representada por um ângulo central) que maximiza R_h;
      2. calcular a vazão na meia seção e a vazão nessa seção de máxima velocidade;
      3. obter o acréscimo percentual \Delta Q.
  • Observação: o resultado pedido é um acréscimo percentual entre duas vazões comparáveis (mesma rugosidade e mesma declividade).

Passo 2

Geometria da seção circular parcialmente cheia — expressões gerais.
Considere uma tubulação/canal circular de raio r. Para uma seção parcial definida pelo semângulo central 2\theta (em radianos), medido a partir do centro da circunferência, valem as fórmulas padrão:
  • área molhada:
A(\theta)=r^{2}\!\left(\theta-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right)
(nota: \theta é o semi-ângulo, logo a porção molhada corresponde ao ângulo total 2\theta); outra forma equivalente é A(\theta)=r^{2}\!\big(\theta-\sin\theta\cos\theta\big).
  • perímetro molhado:
P(\theta)=2r\theta.
  • raio hidráulico:
R_h(\theta)=\frac{A(\theta)}{P(\theta)} =\frac{r^{2}\big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta\big)}{2r\theta} =\frac{r}{2}\cdot\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{\theta}.
Explico por que cada fórmula é assim (rapidamente): A(\theta) é a área do segmento circular: área do setor (r^{2}\theta) menos a área do triângulo isósceles associado (\tfrac{1}{2}r^{2}\sin2\theta). O perímetro molhado é simplesmente o comprimento do arco correspondente, 2r\theta.

Passo 3

Relação entre vazão e geometria e estratégia para o problema.
  • Fórmula de Manning (forma simplificada): para mesma declividade e mesma rugosidade, a vazão segue a proporcionalidade
Q(\theta)\propto A(\theta)\;R_h(\theta)^{2/3}.
Portanto, para comparar duas seções (mesmo r, mesma declividade), podemos usar
Q(\theta)\propto \frac{A(\theta)^{5/3}}{P(\theta)^{2/3}}.
  • Para a “seção de máxima velocidade” usamos o raciocínio: a velocidade média V\propto R_h^{2/3}. A velocidade máxima corresponde ao máximo de R_h(\theta). Assim primeiro achamos \theta que maximiza R_h(\theta), depois calculamos a vazão nessa \theta e comparamos com a vazão na meia seção.
  • Meia seção (meio da circunferência molhada): corresponde a 2\theta=\pi\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}. Vamos chamar este caso de “meia”.
Resumo do plano:
  1. Determinar \theta_{V_{\max}} que maximiza R_h(\theta).
  2. Calcular Q(\theta_{V_{\max}}) e Q(\theta_{\text{meia}}) usando a proporcionalidade acima.
  3. Calcular o acréscimo percentual
\Delta Q(\%)=\frac{Q(\theta_{V_{\max}})-Q(\theta_{\text{meia}})}{Q(\theta_{\text{meia}})}\times100\%.

Passo 4

Achar \theta_{V_{\max}} (máximo do raio hidráulico).
Queremos maximizar
R_h(\theta)=\frac{A(\theta)}{P(\theta)}=\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{2\theta}\cdot r.
Como r é constante, basta maximizar a função adimensional
\tilde R(\theta)=\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{\theta}.
Derivando e igualando a zero (passo a passo):
\tilde R(\theta)=\frac{a(\theta)}{\theta},\quad\text{com } a(\theta)=\theta-\sin\theta\cos\theta.
\frac{d\tilde R}{d\theta}=\frac{a'(\theta)\,\theta - a(\theta)}{\theta^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad a'(\theta)\,\theta - a(\theta)=0.
Agora calcule a'(\theta):
a'(\theta)=1-\frac{d}{d\theta}(\sin\theta\cos\theta)=1-(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=1-\cos2\theta=2\sin^{2}\theta.
Substituindo:
\theta\cdot 2\sin^{2}\theta - \big(\theta-\sin\theta\cos\theta\big)=0.
Reorganizando:
2\theta\sin^{2}\theta -\theta + \sin\theta\cos\theta =0.
Esta é a equação transcendente a resolver numericamente para \theta\in(0,\pi).
Fazendo a resolução numérica (método numérico simples/iteração), encontra-se
\theta_{V_{\max}}\approx 2{,}243\\ \text{rad}.
(Para referência: \theta=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}571 é a meia seção; \theta_{V_{\max}} é maior, indicando um enchimento bem acima da metade, próximo da totalidade.)

Passo 5

Calcular as áreas e perímetros necessários para as duas seções.
  1. Meia seção: \theta_{\text{meia}}=\dfrac{\pi}{2}.
A_{\text{meia}}=r^{2}\!\left(\theta_{\text{meia}}-\tfrac{1}{2}\sin2\theta_{\text{meia}}\right) = r^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{2}\sin\pi\right) = r^{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}.
P_{\text{meia}}=2r\theta_{\text{meia}}=2r\cdot\tfrac{\pi}{2}=r\pi.
  1. Seção de máxima velocidade: \theta_{V_{\max}}\approx 2{,}243.
    Calculemos os termos adimensionais (divididos por r^{2} ou por r) que aparecem na expressão proporcional da vazão.
Defina a função adimensional
a(\theta)=\theta-\sin\theta\cos\theta
e lembre que P(\theta)=2r\theta.
  • Para \theta_{V_{\max}}=2{,}243:
    • calcule \sin\theta_{V_{\max}} e \cos\theta_{V_{\max}} (valores numéricos): \sin\theta_{V_{\max}}\approx 0{,}78245, \cos\theta_{V_{\max}}\approx -0{,}62051.
    • então
    a(\theta_{V_{\max}})=\theta_{V_{\max}}-\sin\theta_{V_{\max}}\cos\theta_{V_{\max}} \approx 2{,}243 - (0{,}78245\cdot -0{,}62051) \approx 2{,}7285.
    • e P(\theta_{V_{\max}})=2r\theta_{V_{\max}} (o fator r será eliminado na razão).

Passo 6

Calcular a razão das vazões e o acréscimo percentual.
Usando a proporcionalidade (Manning):
Q(\theta)\propto \frac{A(\theta)^{5/3}}{P(\theta)^{2/3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q(\theta_{V_{\max}})}{Q(\text{meia})} =\frac{\big[A(\theta_{V_{\max}})\big]^{5/3}\big[P(\text{meia})\big]^{2/3}} {\big[A(\text{meia})\big]^{5/3}\big[P(\theta_{V_{\max}})\big]^{2/3}}.
Como A(\theta)=r^{2}a(\theta) e P(\theta)=2r\theta, os fatores r se cancelam na razão; obtém-se a forma simplificada:
\frac{Q(\theta_{V_{\max}})}{Q(\text{meia})} =\frac{a(\theta_{V_{\max}})^{5/3}}{\theta_{V_{\max}}^{2/3}}\cdot\frac{\theta_{\text{meia}}^{2/3}}{a(\theta_{\text{meia}})^{5/3}}.
Mas para a meia seção a(\theta_{\text{meia}})=\theta_{\text{meia}}=\dfrac{\pi}{2}, portanto a fração simplifica e fica:
\frac{Q(\theta_{V_{\max}})}{Q(\text{meia})} =\frac{a(\theta_{V_{\max}})^{5/3}}{\theta_{V_{\max}}^{2/3}}\cdot\left(\frac{1}{\theta_{\text{meia}}}\right) =\frac{a(\theta_{V_{\max}})^{5/3}}{\theta_{V_{\max}}^{2/3}}\cdot\frac{1}{\pi/2}.
Agora substituímos valores numéricos:
a(\theta_{V_{\max}})\approx 2{,}7285,\qquad \theta_{V_{\max}}\approx 2{,}243,\qquad \theta_{\text{meia}}=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708.
Cálculos (mostrando a ideia; os expoentes foram aplicados diretamente):
\frac{Q(\theta_{V_{\max}})}{Q(\text{meia})} \approx \frac{(2{,}7285)^{5/3}}{(2{,}243)^{2/3}}\cdot\frac{1}{1{,}5708} \approx 1{,}976\\ \text{(aprox.)}.
Portanto o acréscimo percentual é
\Delta Q(\%)=\bigg(\frac{Q(\theta_{V_{\max}})}{Q(\text{meia})}-1\bigg)\times100\% \approx (1{,}976-1)\times100\%\approx 97{,}6\%.

Resposta

\Delta Q \approx 97{,}6\%

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