8.7 Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção para a seção de máxima velocidade?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O que se pede: calcular o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção (metade da seção circular preenchida) para a chamada “seção de máxima velocidade”.
- Informações relevantes (implícitas no problema):
- A velocidade média em escoamentos uniformes em canais depende do raio hidráulico; usaremos a fórmula de escoamento uniforme (Manning/Chezy). Aqui adotamos a forma clássica de Manning que dá a vazão proporcional a
, onde: -
é a área molhada (área da superfície molhada), -
é o raio hidráulico definido por , com o perímetro molhado.
-
- “Seção de máxima velocidade” significa a profundidade para a qual a velocidade média é máxima. Como, na fórmula de Manning, a velocidade média
(para mesma inclinação e rugosidade), a velocidade média é máxima quando o raio hidráulico é máximo. Portanto, devemos: - achar a posição (profundidade, representada por um ângulo central) que maximiza
; - calcular a vazão na meia seção e a vazão nessa seção de máxima velocidade;
- obter o acréscimo percentual
.
- achar a posição (profundidade, representada por um ângulo central) que maximiza
- A velocidade média em escoamentos uniformes em canais depende do raio hidráulico; usaremos a fórmula de escoamento uniforme (Manning/Chezy). Aqui adotamos a forma clássica de Manning que dá a vazão proporcional a
- Observação: o resultado pedido é um acréscimo percentual entre duas vazões comparáveis (mesma rugosidade e mesma declividade).
Passo 2
Geometria da seção circular parcialmente cheia — expressões gerais.
Considere uma tubulação/canal circular de raio
. Para uma seção parcial definida pelo semângulo central
(em radianos), medido a partir do centro da circunferência, valem as fórmulas padrão:
- área molhada:
(nota:
é o semi-ângulo, logo a porção molhada corresponde ao ângulo total
); outra forma equivalente é
.
- perímetro molhado:
- raio hidráulico:
Explico por que cada fórmula é assim (rapidamente):
é a área do segmento circular: área do setor
menos a área do triângulo isósceles associado
. O perímetro molhado é simplesmente o comprimento do arco correspondente,
.
Passo 3
Relação entre vazão e geometria e estratégia para o problema.
- Fórmula de Manning (forma simplificada): para mesma declividade e mesma rugosidade, a vazão segue a proporcionalidade
Portanto, para comparar duas seções (mesmo
, mesma declividade), podemos usar
-
Para a “seção de máxima velocidade” usamos o raciocínio: a velocidade média
. A velocidade máxima corresponde ao máximo de . Assim primeiro achamos que maximiza , depois calculamos a vazão nessa e comparamos com a vazão na meia seção. -
Meia seção (meio da circunferência molhada): corresponde a
. Vamos chamar este caso de “meia”.
Resumo do plano:
- Determinar
que maximiza . - Calcular
e usando a proporcionalidade acima. - Calcular o acréscimo percentual
Passo 4
Achar
(máximo do raio hidráulico).
Queremos maximizar
Como
é constante, basta maximizar a função adimensional
Derivando e igualando a zero (passo a passo):
Agora calcule
:
Substituindo:
Reorganizando:
Esta é a equação transcendente a resolver numericamente para
.
Fazendo a resolução numérica (método numérico simples/iteração), encontra-se
(Para referência:
é a meia seção;
é maior, indicando um enchimento bem acima da metade, próximo da totalidade.)
Passo 5
Calcular as áreas e perímetros necessários para as duas seções.
- Meia seção:
.
- Seção de máxima velocidade:
.
Calculemos os termos adimensionais (divididos porou por ) que aparecem na expressão proporcional da vazão.
Defina a função adimensional
e lembre que
.
- Para
: - calcule
e (valores numéricos): , . - então
- e
(o fator será eliminado na razão).
- calcule
Passo 6
Calcular a razão das vazões e o acréscimo percentual.
Usando a proporcionalidade (Manning):
Como
e
, os fatores
se cancelam na razão; obtém-se a forma simplificada:
Mas para a meia seção
, portanto a fração simplifica e fica:
Agora substituímos valores numéricos:
Cálculos (mostrando a ideia; os expoentes foram aplicados diretamente):
Portanto o acréscimo percentual é