Dimensione um canal trapezoidal, com taludes 2 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, declividade de fundo \mathrm{I}_{\mathrm{o}}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, com taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada, em boas condições, para transportar em regime uniforme uma vazão de 8,0 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}, sujeita às seguintes condições:
a) A máxima altura d’água deve ser de 1,15 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede dimensionar um canal trapezoidal com enunciadas condições para escoamento uniforme. Vou listar claramente o que foi dado e o que se quer:
  • Vazão a transportar: Q=8{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Taludes laterais: 2\mathrm{H}:1\mathrm{V}. Ou seja, m=2 (run horizontal por unidade vertical).
  • Declividade do fundo (inclinação): I_0=0{,}001\\ \mathrm{m/m}.
  • Material e conservação: alvenaria de pedra argamassada, em boas condições (isso determina o coeficiente de rugosidade de Manning).
  • Condição obrigatória: altura máxima d’água (profundidade de escoamento) y=1{,}15\\ \mathrm{m}. Essa profundidade é imposta — o canal deve transportar Q com essa profundidade máxima.
  • O que se pede: determinar as dimensões do canal (pelo menos a largura do fundo b; com ela também calculamos área, calha superior, perímetro molhado, raio hidráulico, velocidade) de modo que, em regime uniforme, o canal transporte Q quando y=1{,}15\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Apresentar a fórmula básica e os elementos geométricos do canal trapezoidal.
  • Fórmula de escoamento uniforme (equação de Manning):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2);
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia, aqui S=I_0 (adimensional).
  • Geometria de seção trapezoidal com taludes m:1 (horizontal:vertical) e profundidade y:
    • Área:
    A = b\,y + m\,y^2,
    onde b é a largura do fundo que queremos determinar.
    • Perímetro molhado:
    P = b + 2\,y\,\sqrt{1+m^2}.
    • Raio hidráulico:
    R=\frac{A}{P}.
Vou usar essas fórmulas com m=2 e y=1{,}15\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escolher e justificar o valor do coeficiente de rugosidade n.
  • Para taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em boas condições, valores típicos de Manning são da ordem de n=0{,}012 a 0{,}014. Vou adotar o valor médio conservador e comum em projetos:
n = 0{,}013.
(Se o fiscal do projeto preferir outro valor, basta repetir os cálculos com esse novo n.)

Passo 4

Transformar a equação de Manning para isolar a incógnita b e preparar o método de solução.
  • Substituindo S=I_0 e rearranjando:
\frac{Q\,n}{\sqrt{S}} = A\,R^{2/3}.
Defino a constante
K \equiv \frac{Q\,n}{\sqrt{S}}.
Com Q=8{,}0, n=0{,}013 e S=0{,}001,
K=\frac{8{,}0\times0{,}013}{\sqrt{0{,}001}}.
Calculemos K:
\sqrt{0{,}001}=0{,}0316227766\quad\Rightarrow\quad K=\frac{0{,}104}{0{,}0316227766}\approx 3{,}2890.
  • Agora, com y fixo e m fixo, expressamos A e P em função de b:
A(b)=b\,y + m\,y^2, \qquad P(b)=b + 2\,y\,\sqrt{1+m^2}.
E a equação que temos de satisfazer é
F(b)\equiv A(b)\,\left(\frac{A(b)}{P(b)}\right)^{2/3} - K = 0.
Esta é uma equação não linear em b. Vou resolver por tentativa/iterações (método prático e usado em prova): testar alguns valores de b até que A R^{2/3} seja igual a K com precisão aceitável.

Passo 5

Calcular constantes numéricas dependentes de y e m.
  • Com y=1{,}15\\ \mathrm{m} e m=2:
m\,y^2 = 2\times(1{,}15)^2 = 2\times1{,}3225 = 2{,}6450\\ \mathrm{m}^2.
  • O termo que aparece no perímetro por causa das abas:
2\,y\,\sqrt{1+m^2}=2\times1{,}15\times\sqrt{1+2^2}=2{,}3\times\sqrt{5}\approx 2{,}3\times2{,}2360679\approx 5{,}142956.
Portanto
A(b)=1{,}15\,b + 2{,}6450, \qquad P(b)=b + 5{,}142956.

Passo 6

Resolver por tentativas: avaliar A\,R^{2/3} para alguns b e comparar com K.
Vou fazer cálculos passo a passo para alguns valores de b até aproximar K\approx3{,}2890.
  1. Teste b=1{,}00\\ \mathrm{m}:
A=1{,}15\cdot1{,}00 + 2{,}6450 = 3{,}7950\\ \mathrm{m}^2,
P=1{,}00 + 5{,}142956 = 6{,}142956\\ \mathrm{m},
R=\frac{A}{P}=\frac{3{,}7950}{6{,}142956}\approx0{,}6178\\ \mathrm{m},
R^{2/3}\approx(0{,}6178)^{2/3}\approx0{,}7256,
A\,R^{2/3}\approx3{,}7950\times0{,}7256\approx2{,}754<3{,}289.
Resultado: capacidade insuficiente (menor que K), logo b deve ser maior.
  1. Teste b=2{,}00\\ \mathrm{m}:
A=1{,}15\cdot2{,}00 + 2{,}6450 = 4{,}9450,
P=2{,}00 + 5{,}142956 = 7{,}142956,
R=\frac{4{,}9450}{7{,}142956}\approx0{,}6921,
R^{2/3}\approx0{,}7825,
A\,R^{2/3}\approx4{,}9450\times0{,}7825\approx3{,}870>3{,}289.
Resultado: agora a capacidade é maior que K. Então b está entre 1{,}00 e 2{,}00\\ \mathrm{m}.
  1. Refino: teste b=1{,}50\\ \mathrm{m}:
A=1{,}15\cdot1{,}50 + 2{,}6450 = 4{,}3700,
P=1{,}50 + 5{,}142956 = 6{,}642956,
R=\frac{4{,}3700}{6{,}642956}\approx0{,}6576,
R^{2/3}\approx0{,}7559,
A\,R^{2/3}\approx4{,}3700\times0{,}7559\approx3{,}304.
Resultado: ligeiramente acima de K (3{,}304 > 3{,}289), então b é um pouco menor que 1{,}50\\ \mathrm{m}.
  1. Mais refinamento: teste b=1{,}48\\ \mathrm{m}:
A=1{,}15\cdot1{,}48 + 2{,}6450 = 4{,}3460\\ (\text{aprox}),
P=1{,}48 + 5{,}142956 = 6{,}622956,
R=\frac{4{,}3460}{6{,}622956}\approx0{,}6560,
R^{2/3}\approx0{,}7549,
A\,R^{2/3}\approx4{,}3460\times0{,}7549\approx3{,}277 < 3{,}289.
Agora ficou ligeiramente abaixo de K. Logo a solução está entre b=1{,}48 e b=1{,}50.
  1. Teste final b=1{,}485\\ \mathrm{m}:
A=1{,}15\cdot1{,}485 + 2{,}6450 = 1{,}70775 + 2{,}6450 = 4{,}35275\\ \mathrm{m}^2,
P=1{,}485 + 5{,}142956 = 6{,}627956\\ \mathrm{m},
R=\frac{4{,}35275}{6{,}627956}\approx0{,}6568\\ \mathrm{m},
R^{2/3}\approx(0{,}6568)^{2/3}\approx0{,}7554,
A\,R^{2/3}\approx4{,}35275\times0{,}7554\approx3{,}289\\ (\text{compatível com }K).í
Esse valor satisfaz a equação com boa precisão. Portanto a largura do fundo requerida é aproximadamente b\approx1{,}485\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Arredondamento prático e cálculo das grandezas finais do projeto.
  • Em projeto prático costuma-se adotar b com duas casas decimais convenientes ou um valor comercial arredondado. Adoto para o projeto
b_{\text{adotado}} = 1{,}50\\ \mathrm{m}
(ou pode-se usar 1{,}49\\ \mathrm{m} se se quiser ser mais exato). Vou apresentar os resultados com b=1{,}485\\ \mathrm{m} (valor calculado) e também o efeito de adotar b=1{,}50\\ \mathrm{m}.
Com b=1{,}485\\ \mathrm{m} (valor calculado):
  • Área da seção:
A = 1{,}15\times1{,}485 + 2{,}6450 = 4{,}35275\\ \mathrm{m}^2.
  • Perímetro molhado:
P = 1{,}485 + 5{,}142956 = 6{,}627956\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}\approx\frac{4{,}35275}{6{,}627956}\approx0{,}6568\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{8{,}0}{4{,}35275}\approx1{,}84\\ \mathrm{m/s}.
Com b_{\text{adotado}}=1{,}50\\ \mathrm{m} (arredondado):
  • A\approx4{,}3700\\ \mathrm{m}^2, P\approx6{,}642956\\ \mathrm{m}, R\approx0{,}6576\\ \mathrm{m}, velocidade V\approx8/4{,}37\approx1{,}83\\ \mathrm{m/s}.
  • A capacidade com b=1{,}50\\ \mathrm{m} foi verificada no Passo 6 (resultado de A R^{2/3}\approx3{,}304, ligeiramente acima de K), ou seja, com b=1{,}50\\ \mathrm{m} o canal ainda transporta a vazão exigida com folga pequena.

Passo 8

Comentários práticos e segurança de projeto (conselhos de exame/projeto curto).
  • A velocidade calculada V\approx1{,}84\\ \mathrm{m/s} é compatível com escoamento em canal de alvenaria de pedra em boas condições (valores usuais seguros variam; para pedras bem assentadas costuma-se aceitar até 2{,}0 3{,}0\\ \mathrm{m/s}, dependendo do revestimento).
  • Recomenda-se prever uma pequena folga de projeto (vazão excecional, manutenção) e considerar espaço livre (calha livre) acima da lâmina d’água se necessário. O enunciado pedia só que a altura máxima de água fosse 1{,}15\\ \mathrm{m}; mantivemos exatamente esse valor.
  • Se preferir, adote b=1{,}50\\ \mathrm{m} por simplificação construtiva; isso garante ligeira capacidade extra.

Resposta

b \approx 1{,}485\\ \mathrm{m} (adotar b=1{,}50\\ \mathrm{m} por conveniência)\newline
A \approx 4{,}353\\ \mathrm{m}^2\newline
P \approx 6{,}628\\ \mathrm{m}\newline
R \approx 0{,}6568\\ \mathrm{m}\newline
T\\ (\text{largura no topo}) = b + 2m y \approx 1{,}485 + 4{,}600 = 6{,}085\\ \mathrm{m}\newline
V = Q/A \approx 1{,}84\\ \mathrm{m/s}

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