O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas em função de t, para t ≥ 1?
( ) P(t)=8000.(1,5)t-1
( )P(t)=0,5.t-1+8000
( ) P(t)=50.t-1+8000
( ) P(t)=8000.(0,5)t-1
( ) P(t)=4000.t-1+8000

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, a gente tem uma indústria que começou fabricando 8.000 unidades de um produto no primeiro ano. No ano seguinte, eles investiram em tecnologia e aumentaram a produção em 50%. A ideia é que esse aumento de 50% continue todos os anos. Queremos achar uma expressão matemática que mostre quantas unidades serão produzidas no ano t, onde t é o número de anos que a indústria está funcionando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aumentar a produção em 50%. Se você tem uma quantidade inicial, digamos $ P $, e aumenta essa quantidade em 50%, você está multiplicando $ P $ por 1,5 (porque 100% + 50% = 150%, que é 1,5 em forma decimal). Então, se no primeiro ano a produção é 8.000 unidades, no segundo ano será $ 8.000 \times 1,5 $.

Passo 3

Agora, queremos ver como essa produção evolui ao longo dos anos. No terceiro ano, a produção será a do segundo ano multiplicada por 1,5 novamente, ou seja, $ 8.000 \times 1,5 \times 1,5 = 8.000 \times (1,5)^2 $. Percebeu o padrão? A cada ano, multiplicamos por mais um fator de 1,5.

Passo 4

Então, para generalizar, no ano $ t $, a produção será a produção inicial multiplicada por $ 1,5 $ elevado a $ t-1 $. A gente usa $ t-1 $ porque no primeiro ano (t=1), não houve aumento ainda, ou seja, $ 1,5^{1-1} = 1,5^0 = 1 $, mantendo a produção em 8.000 unidades.

Resposta

A expressão que determina o número de unidades produzidas em função de $ t $ é:
t

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