O açúcar comum, sacarose, reage em solução ácida diluída, formando glicose e frutose. Ambos os produtos apresentam a mesma fórmula \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}\right) : \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \rightarrow 2 \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6(\mathrm{aq})} A velocidade dessa reação foi estudada em solução ácida, e os dados na tabela a séguir foram obtidos:
Tempo (min) 0 40 80 140 210
\left[\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}\right] \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} 0,420 0,378 0,342 0,294 0,250
(a) Qual a ordem de reação? (determine graficamente)
(b) Qual a equação de velocidade desta reação?
(c) Qual seria a concentração de sacarose após 200 minutos de reação?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas claras:
  • Dados (da tabela): tempos e concentrações de sacarose
\begin{array}{c|ccccc} \text{Tempo (min)} & 0 & 40 & 80 & 140 & 210\\hline \left[\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}\right]\;(\mathrm{mol\,L^{-1}}) & 0{,}420 & 0{,}378 & 0{,}342 & 0{,}294 & 0{,}250 \end{array}
  • Perguntas:
    (a) Qual a ordem da reação? (determine graficamente).
    (b) Qual a equação de velocidade desta reação?
    (c) Qual seria a concentração de sacarose após 200 minutos de reação?
Observação: a tabela acima é exatamente a informação numérica fornecida no enunciado; usarei esses valores diretamente.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do procedimento gráfico que vou aplicar):
  • Para determinar a ordem por um método gráfico usual, testamos linearidade de três possíveis gráficos:
    1. Ordem zero: [\mathrm{A}] versus t deve ser linear. A equação integrada é [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}]_0 - k t.
    2. Ordem um: \ln[\mathrm{A}] versus t deve ser linear. A equação integrada é \ln[\mathrm{A}]=\ln[\mathrm{A}]_0 - k t.
    3. Ordem dois: 1/[\mathrm{A}] versus t deve ser linear. A equação integrada é \dfrac{1}{[\mathrm{A}]}=\dfrac{1}{[\mathrm{A}]_0} + k t.
  • Explicando as fórmulas (passo-a-passo, sem pular):
    • Em cada caso, [\mathrm{A}] é a concentração da espécie reagente (aqui a sacarose) no tempo t.
    • [\mathrm{A}]_0 é a concentração inicial (aqui \,0{,}420\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}).
    • k é a constante de velocidade; para ordem um tem unidade de \mathrm{min^{-1}}, para ordem zero \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}} e para ordem dois \mathrm{L\,mol^{-1}\,min^{-1}}.
    • Se o gráfico apropriado for aproximadamente uma reta, a ordem correspondente é a correta.
  • Vou construir o gráfico testando a linearidade de \ln[\mathrm{A}] versus t (método mais comum para reações que parecem decair exponencialmente). Para ser rigoroso farei os cálculos de \ln[\mathrm{A}] e um ajuste linear (slope) para obter k. Se esse gráfico for bem linear, a reação é de primeira ordem.

Passo 3

Calcular \ln das concentrações dadas (mostrando como calculei cada valor):
  • Para t=0: [\mathrm{A}]_0=0{,}420.
    \ln(0{,}420)\approx -0{,}86750.
  • Para t=40: [\mathrm{A}]=0{,}378.
    \ln(0{,}378)\approx -0{,}97286.
  • Para t=80: [\mathrm{A}]=0{,}342.
    \ln(0{,}342)\approx -1{,}07266.
  • Para t=140: [\mathrm{A}]=0{,}294.
    \ln(0{,}294)\approx -1{,}22420.
  • Para t=210: [\mathrm{A}]=0{,}250.
    \ln(0{,}250)\approx -1{,}38629.
Agora a tabela \left(t,\ln[\mathrm{A}]\right):
\begin{array}{c|ccccc} t\\ (\text{min}) & 0 & 40 & 80 & 140 & 210\\hline \ln[\mathrm{A}] & -0{,}86750 & -0{,}97286 & -1{,}07266 & -1{,}22420 & -1{,}38629 \end{array}

Passo 4

Verificação de linearidade e cálculo do coeficiente angular (slope) por ajuste linear simples (método dos mínimos quadrados) — isso corresponde a “determinar graficamente” de forma numérica:
  • Calculei a média dos tempos e a média dos \ln[\mathrm{A}]:
    \bar{t}=94\\ \text{min},\qquad \overline{\ln[\mathrm{A}]} \approx -1{,}10470.
  • Usei a fórmula do slope (coeficiente angular) da regressão linear
    \text{slope}=\frac{\sum (t_i-\bar{t})(\ln[\mathrm{A}]_i-\overline{\ln[\mathrm{A}]})}{\sum (t_i-\bar{t})^2}.
    O cálculo numérico dá
    \text{slope}\approx -0{,}0024714\\ \text{min}^{-1}.
  • Para uma reação de primeira ordem a relação integrada é
    \ln[\mathrm{A}]=\ln[\mathrm{A}]_0 - k t,
    portanto o slope é -k. Assim
    k\approx 0{,}0024714\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Observação prática: os pontos \left(t,\ln[\mathrm{A}]\right) caem praticamente numa reta (diferenças pequenas nas inclinações locais), o que confirma que a forma linear de \ln[\mathrm{A}] versus t é a adequada.

Passo 5

Conclusão sobre a ordem (resposta à letra a), com justificativa curta e clara:
  • Como \ln[\mathrm{A}] versus t é linear (slope constante \approx -0{,}0024714), a reação é de primeira ordem com relação à sacarose.

Passo 6

Escrever a equação de velocidade (letra b) e explicar suas formas diferencial e integrada:
  • Forma diferencial (lei de velocidade):
    -\frac{d\,[\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}]}{dt}=k\,[\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}].
    Aqui [\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}] é a concentração de sacarose em \mathrm{mol\,L^{-1}}, t é o tempo em minutos e k é a constante de velocidade.
  • Forma integrada (útil para calcular concentrações em qualquer tempo):
    \ln\left([\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}]\right)=\ln\left([\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}]_0\right)-k\,t,
    com k\approx 0{,}0024714\\ \mathrm{min}^{-1} e [\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}]_0=0{,}420\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Cálculo da concentração após 200 minutos (letra c), passo a passo:
  • Usamos a forma integrada:
    [\mathrm{A}](t)=[\mathrm{A}]_0\,e^{-k t}.
    Substituindo os valores conhecidos:
    [\mathrm{A}](200)=0{,}420\cdot e^{-0{,}0024714\times 200}.
  • Calcular o expoente:
    -k t = -0{,}0024714\times 200 \approx -0{,}49428.
  • Calcular a exponencial (aproximação numérica):
    e^{-0{,}49428}\approx 0{,}6100.
  • Finalmente:
    [\mathrm{A}](200)\approx 0{,}420\times 0{,}6100 \approx 0{,}256\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Resposta

(a) Primeira ordem.
(b) -\dfrac{d\,[\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}]}{dt}=k\,[\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}] com k\approx 0{,}0024714\\ \mathrm{min}^{-1}.
(c) [\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{22}\mathrm{O}_{11}](200\\ \text{min})\approx 0{,}256\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Exercícios relacionados