Exercício 3: Considere um reator de tanque bem misturado contínuo com volume de 200 L e alimentado por uma corrente de
contendo
de um reagente A . A reação que ocorre no tanque tem cinética de
ordem
com
.
a) Calcule qual será a concentração de
no reator em estado estacionário.
b) Suponha que antes de chegar ao estado estacionário, o reator inicia com
de reagente. Resolva a EDO e esboce o gráfico da concentração em funçāo do tempo.
c) Qual é o limite da funçāo
que você encontrou no item b) quando
?
a) Calcule qual será a concentração de
b) Suponha que antes de chegar ao estado estacionário, o reator inicia com
c) Qual é o limite da funçāo
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá os seguintes dados:
-
Perguntas:
- Calcular a concentração de
no reator em estado estacionário. - Partindo de
em , resolver a EDO que descreve e esboçar o gráfico de versus . - Determinar
.
- Calcular a concentração de
-
Dados fornecidos:
a cinética é de primeira ordem com
- Condição inicial para o item (b):
Passo 2
Escrever a balanço de massa geral para um reator tanque bem misturado (CSTR). Explicando devagarinho: o balanço de espécie
diz que a taxa de variação da massa (ou concentração no volume) é igual ao que entra menos o que sai mais o que é gerado (ou consumido) por reação. Em fórmulas:
Aqui:
-
é o volume do reator ( ), -
é a concentração no reator ( ), -
é a vazão volumétrica ( ), -
é a concentração na alimentação ( ), -
é a taxa volumétrica de reação ( ).
Passo 3
Substituir a expressão da cinética de primeira ordem
no balanço. Assim:
Organizando os termos:
Passo 4
Para o estado estacionário (item a) a concentração não varia no tempo, logo
. Substituindo em
onde
é a concentração de estado estacionário. Resolver para
:
Explicação breve: isso vem de isolar
na equação linear acima.
Passo 5
Calcular numericamente
usando os dados. Primeiro calcular o denominador:
Numerador:
Portanto
Passo 6
Agora vamos ao item (b): escrever a EDO explícita para
. A partir de
dividimos por
para obter a forma padrão:
Explicando os termos:
-
tem unidade de e representa a taxa de renovação do fluido no reator (às vezes chamada de vazão específica). - O coeficiente
é a soma das taxas efetivas que removem (saída por vazão e consumo por reação).
Passo 7
Calcular os coeficientes numéricos:
logo
e o termo do lado direito:
A EDO fica então
Passo 8
Resolver a EDO linear de primeira ordem. Vou usar a solução padrão (que é bem direta): para
a solução geral é
onde
é a solução particular (estado estacionário). Aplicando aqui:
então
o que bate com o
encontrado antes — sempre bom ver a coerência física: a solução da EDO tende para o mesmo valor de estado estacionário. Com condição inicial
:
Explicação intuitiva: é um crescimento exponencial do valor inicial
até o valor limite
, com velocidade controlada pelo expoente
.
Passo 9
Interpretação do tempo característico (ajuda a esboçar o gráfico): o tempo característico ou constante de tempo é
Significado: em
a função atinge cerca de
do valor final. Aqui:
Para esboçar o gráfico (palavras): comece em
, cresce rapidamente de forma exponencial atenuada e se aproxima assintoticamente de
. Em cerca de
(≈5,45 min) já estamos próximos (~95%) do valor final.
Passo 10
Item (c): o limite quando
. Pela forma da solução
temos
quando
. Logo
que coincide com o resultado do item (a) — isto é esperado fisicamente.
Resposta
a)
b)
c)