A reação que segue demonstra o processo um processo redox:
\mathrm{Sn}^{2+}+2 \mathrm{Co}^{3+} \rightarrow \mathrm{Sn}^{4+}+2 \mathrm{Co}^{2+}
A 2^{\circ} \mathrm{C} a constante de velocidade do processo é de 3,12 \times 10^{3} \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} e a 27^{\circ} \mathrm{C} a constante de velocidade é de 27 \times 10^{3}. Determine a energia de ativação do processo. ( R =8,314 \mathrm{~J}^{-1} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} )

Passo 1

O enunciado dá a seguinte reação (apenas contexto, não influencia no cálculo direto):
\mathrm{Sn}^{2+}+2 \mathrm{Co}^{3+} \rightarrow \mathrm{Sn}^{4+}+2 \mathrm{Co}^{2+}
Dados fornecidos que vamos usar diretamente:
k_1 = 3,12\times 10^{3}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}\quad\text{a}\quad 2^{\circ}\mathrm{C}
k_2 = 27\times 10^{3}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}\quad\text{a}\quad 27^{\circ}\mathrm{C}
Constante dos gases (fornecida):
R = 8,314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}
O que o problema pede:
  • Determinar a energia de ativação E_a do processo (em unidades de energia por mol).

Passo 2

Apresentando a teoria que vamos usar (arranjo passo a passo, bem didático). A equação de Arrhenius diz que a constante de velocidade k depende da temperatura T assim:
k = A \,\mathrm{e}^{-E_a/(R T)}
onde:
  • k é a constante de velocidade (mesmas unidades do enunciado),
  • A é o fator pré-exponencial (não precisamos conhecê-lo aqui),
  • E_a é a energia de ativação (que queremos),
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura em kelvin (K).
Se tivermos duas temperaturas e duas constantes de velocidade ( k_1 em T_1 e k_2 em T_2), podemos dividir as duas expressões e eliminar A:
\frac{k_2}{k_1} = \exp\!\left(-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Rearranjando para E_a:
E_a = R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Observação importante: preste atenção à ordem em \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2} para que E_a fique positivo quando k_2>k_1 e T_2>T_1.

Passo 3

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin (regra: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273,15):
T_1 = 2^{\circ}\mathrm{C} = 2 + 273,15 = 275,15\\ \mathrm{K}
T_2 = 27^{\circ}\mathrm{C} = 27 + 273,15 = 300,15\\ \mathrm{K}

Passo 4

Calcular o logaritmo natural da razão das constantes de velocidade. Primeiro a razão:
\frac{k_2}{k_1} = \frac{27\times 10^{3}}{3,12\times 10^{3}} = \frac{27}{3,12}=8,6538461538\ldots
Agora o logaritmo natural (uso da identidade \ln(a/b)=\ln a - \ln b pode ajudar):
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\ln(8,6538461538\ldots)=2,158003865\ldots

Passo 5

Calcular a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}. Usamos a forma conveniente:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{T_2-T_1}{T_1 T_2}.
Substituindo os valores:
T_2-T_1 = 300,15-275,15 = 25,00\\ \mathrm{K}
T_1 T_2 = 275,15\times 300,15 = 82\,586,2725\\ \mathrm{K}^2
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{25,00}{82\,586,2725}=0,0003027144\\ \mathrm{K}^{-1}\\ (\text{aprox.})

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula para E_a:
E_a = R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Substituindo números:
E_a = 8,314\cdot\frac{2,158003865}{0,0003027144}.
Calcule o numerador primeiro:
8,314\times 2,158003865 \approx 17,94103\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Agora divida pelo denominador:
E_a \approx \frac{17,94103}{0,0003027144}\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\approx 59\,267\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 7

Converter para uma unidade mais comum (quilojoule por mol):
E_a \approx 59\,267\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = 59,267\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Arredondando com dois algarismos significativos (os dados originais têm cerca de 3 algarismos significativos):
E_a \approx 59,3\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Resposta

E_a \approx 5,93\times 10^{4}\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = 59,3\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}

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