Um bolo é retirado de um forno a 210^{\circ} \mathrm{F} e deixado para esfriar à temperatura ambiente, de 70^{\circ} \mathrm{F}. Após 30 min , a temperatura do bolo e de 140^{\circ} \mathrm{F}. Quando será de 100^{\circ} \mathrm{F} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Temperatura inicial do bolo ao sair do forno: \,210^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura ambiente (temperatura final para longo tempo): \,70^\circ\mathrm{F}.
  • Após \,30 minutos a temperatura do bolo é \,140^\circ\mathrm{F}.
  • Pergunta: quando a temperatura do bolo será \,100^\circ\mathrm{F}? (ou seja, quantos minutos após a retirada do forno)

Passo 2

Apresentação da lei que vamos usar e explicação das variáveis (aula curtinha): usamos a lei exponencial de resfriamento que descreve como a temperatura de um objeto muda quando troca calor com o ambiente. A fórmula geral que vamos usar é
T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})\,e^{-k t}
onde:
  • \,T(t) é a temperatura do objeto no instante t (minutos, aqui);
  • \,T_{\text{amb}} é a temperatura ambiente (constante);
  • \,T_0 é a temperatura inicial no instante t=0;
  • \,k é uma constante positiva que mede a rapidez do resfriamento (quanto maior k, mais rápido esfria);
  • \,e é a base dos logaritmos naturais (aprox. \,2{,}718\ldots).
Explicação intuitiva: a diferença \,T(t)-T_{\text{amb}} decai exponencialmente com taxa \,k, isto é, a cada instante essa diferença diminui multiplicada por \,e^{-k\Delta t}.

Passo 3

Aplicamos os dados iniciais para montar a equação específica do nosso problema. Aqui \,T_{\text{amb}}=70, \,T_0=210. Substituindo na fórmula obtemos:
T(t)=70+(210-70)\,e^{-k t}=70+140\,e^{-k t}.
Comentário: a quantidade \,210-70=140 é a “diferença inicial” entre bolo e ambiente; essa diferença é a que decai exponencialmente.

Passo 4

Usamos o dado extra \,T(30)=140 para determinar \,k. Substituindo t=30 na equação obtida:
140 = 70 + 140\,e^{-30k}.
Agora isolamos a exponencial: subtraindo \,70 dos dois lados,
70 = 140\,e^{-30k}.
Dividindo por \,140,
e^{-30k} = \frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural (explicação: \ln é a função inversa de e^{(\cdot)}; \ln(e^{x})=x):
-30k = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2.
Logo
k = \frac{\ln 2}{30}.
Interpretação rápida: isso significa que a diferença de temperatura do bolo em relação ao ambiente reduz pela metade a cada \,30 minutos (meia-vida térmica de \,30 min).

Passo 5

Reescrevemos a expressão de \,T(t) com o valor de \,k encontrado (para usar depois):
T(t)=70+140\,e^{-(\ln 2)\,t/30}.
Observação: outra forma útil é notar que e^{-(\ln 2)\,t/30} = 2^{-t/30}, isto é, a diferença inicial é multiplicada por 2^{-t/30}.

Passo 6

Agora resolvemos para o instante em que \,T(t)=100. Substituímos na fórmula:
100 = 70 + 140\,e^{-k t}.
Isolando a exponencial:
30 = 140\,e^{-k t} \quad\Rightarrow\quad e^{-k t} = \frac{30}{140} = \frac{3}{14}.
Tomamos ln dos dois lados:
-kt = \ln\!\left(\tfrac{3}{14}\right).
Lembrando que k=\dfrac{\ln 2}{30}, temos
t = -\frac{1}{k}\,\ln\!\left(\tfrac{3}{14}\right) = \frac{30}{\ln 2}\,\ln\!\left(\tfrac{14}{3}\right).
Comentário: trocamos sinal dentro do log porque \ln(3/14)=-\ln(14/3).

Passo 7

Cálculo numérico (passo a passo, sem pulo): primeiro avaliamos os logaritmos aproximados:
\ln 2 \approx 0{,}693147,\qquad \ln\!\left(\tfrac{14}{3}\right)\approx 1{,}540445.
Logo
t \approx \frac{30}{0{,}693147}\times 1{,}540445 \approx 30\times 2{,}22239 \approx 66{,}6717\\ \text{min}.
Convertendo para horas, minutos e segundos: \,66{,}6717\\ \text{min} = 1\\ \text{h} + 6{,}6717\\ \text{min}. O decimal \,0{,}6717\\ \text{min} são \,0{,}6717\times 60 \approx 40{,}3\\ \text{s}. Portanto aproximadamente \,1\\ \text{h}\\\ 6\\ \text{min}\\\ 40\\ \text{s}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o bolo atinge \,100^\circ\mathrm{F} cerca de \,66{,}7 minutos após ser retirado do forno. Isso é consistente com o fato de que em 30 min já caiu para \,140^\circ, e levará mais tempo para aproximar-se de \,70^\circ (a desaceleração é característica do decaimento exponencial).

Resposta

\,t \approx 66{,}67\\ \text{min} após retirada (aproximadamente 1\\ \text{h}\\\ 6\\ \text{min}\\\ 40\\ \text{s}).

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