Um bolo é retirado de um forno a
e deixado para esfriar à temperatura ambiente, de
. Após 30 min , a temperatura do bolo e de
. Quando será de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
- Temperatura inicial do bolo ao sair do forno:
. - Temperatura ambiente (temperatura final para longo tempo):
. - Após
minutos a temperatura do bolo é . - Pergunta: quando a temperatura do bolo será
? (ou seja, quantos minutos após a retirada do forno)
Passo 2
Apresentação da lei que vamos usar e explicação das variáveis (aula curtinha): usamos a lei exponencial de resfriamento que descreve como a temperatura de um objeto muda quando troca calor com o ambiente. A fórmula geral que vamos usar é
onde:
-
é a temperatura do objeto no instante (minutos, aqui); -
é a temperatura ambiente (constante); -
é a temperatura inicial no instante ; -
é uma constante positiva que mede a rapidez do resfriamento (quanto maior , mais rápido esfria); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Explicação intuitiva: a diferença
decai exponencialmente com taxa
, isto é, a cada instante essa diferença diminui multiplicada por
.
Passo 3
Aplicamos os dados iniciais para montar a equação específica do nosso problema. Aqui
,
. Substituindo na fórmula obtemos:
Comentário: a quantidade
é a “diferença inicial” entre bolo e ambiente; essa diferença é a que decai exponencialmente.
Passo 4
Usamos o dado extra
para determinar
. Substituindo
na equação obtida:
Agora isolamos a exponencial: subtraindo
dos dois lados,
Dividindo por
,
Tomando logaritmo natural (explicação:
é a função inversa de
;
):
Logo
Interpretação rápida: isso significa que a diferença de temperatura do bolo em relação ao ambiente reduz pela metade a cada
minutos (meia-vida térmica de
min).
Passo 5
Reescrevemos a expressão de
com o valor de
encontrado (para usar depois):
Observação: outra forma útil é notar que
, isto é, a diferença inicial é multiplicada por
.
Passo 6
Agora resolvemos para o instante em que
. Substituímos na fórmula:
Isolando a exponencial:
Tomamos ln dos dois lados:
Lembrando que
, temos
Comentário: trocamos sinal dentro do log porque
.
Passo 7
Cálculo numérico (passo a passo, sem pulo): primeiro avaliamos os logaritmos aproximados:
Logo
Convertendo para horas, minutos e segundos:
. O decimal
são
. Portanto aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o bolo atinge
cerca de
minutos após ser retirado do forno. Isso é consistente com o fato de que em 30 min já caiu para
, e levará mais tempo para aproximar-se de
(a desaceleração é característica do decaimento exponencial).