Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante
, a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por
. Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de
.
Determine a área da base,
, e o volume do monte,
, em função de
.
Determine a área da base,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um monte de areia que tem formato de cone. A altura do cone é igual ao raio da base, e vamos chamar essa medida de $ a(t) $. Sabemos também que o volume de areia está aumentando a uma taxa de $ 10 , m^3/h $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área da base $ A(t) $ e o volume do monte $ V(t) $ em função de $ a(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones, especificamente as fórmulas para a área da base e o volume. Vamos passo a passo para entender direitinho como chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a área da base de um cone. A base de um cone é um círculo, então a área $ A(t) $ é dada por:
No nosso caso, o raio $ r $ é igual à altura $ a(t) $. Então, substituindo $ r $ por $ a(t) $, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do cone. A fórmula para o volume $ V(t) $ de um cone é:
Aqui, $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone. No nosso caso, $ r = a(t) $ e $ h = a(t) $, já que a altura é igual ao raio. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Resposta
Portanto, a área da base do monte é $ A(t) = \pi a(t)^2 $ e o volume do monte é $ V(t) = \frac{1}{3} \pi a(t)^3 $.