Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante t>0, a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por a(t). Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de 10 m^3 / h.
Determine a área da base, A(t), e o volume do monte, V(t), em função de a(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um monte de areia que tem formato de cone. A altura do cone é igual ao raio da base, e vamos chamar essa medida de $ a(t) $. Sabemos também que o volume de areia está aumentando a uma taxa de $ 10 , m^3/h $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área da base $ A(t) $ e o volume do monte $ V(t) $ em função de $ a(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones, especificamente as fórmulas para a área da base e o volume. Vamos passo a passo para entender direitinho como chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a área da base de um cone. A base de um cone é um círculo, então a área $ A(t) $ é dada por:
A(t)
No nosso caso, o raio $ r $ é igual à altura $ a(t) $. Então, substituindo $ r $ por $ a(t) $, temos:
A(t) = pi r^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do cone. A fórmula para o volume $ V(t) $ de um cone é:
V(t)
Aqui, $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone. No nosso caso, $ r = a(t) $ e $ h = a(t) $, já que a altura é igual ao raio. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
V(t) = 13 pi r^2 h

Resposta

Portanto, a área da base do monte é $ A(t) = \pi a(t)^2 $ e o volume do monte é $ V(t) = \frac{1}{3} \pi a(t)^3 $.

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