Se
é um número inteiro,
, prove que
é uma função ímpar se
é ímpar e é uma função par se
é par.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função f(x)=x^{n}, com n∈ℤ e n≥1, é ímpar se n é ímpar e par se n é par. O conteúdo envolve a definição de funções pares e ímpares e a propriedade de potências de números negativos.
Passo 2
Por definição, uma função f é par se satisfaz f(-x)=f(x) para todo x no domínio, e é ímpar se satisfaz f(-x)=-f(x) para todo x no domínio.
Passo 3
Vamos calcular f(-x):
Podemos usar a propriedade de potências de número negativo:
(-x){n}=(-1){n}
(-x){n}=(-1){n}
x^{n}.
Passo 4
Se n é par, então (-1)^{n}=1. Logo temos:
(-x){n}=1·x{n}=x^{n}=f(x),
o que mostra que f(-x)=f(x) e, portanto, f é par.
Passo 5
Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1. Logo:
(-x){n}=-1·x{n}=-x^{n}=-f(x),
o que mostra que f(-x)=-f(x) e, portanto, f é ímpar.
Resposta
A função f(x)=x^{n} é par quando n é par e ímpar quando n é ímpar.