Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante
, a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por
. Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de
.
a) Determine a área da base,
, e o volume do monte,
, em função de
.
b) Determine uma equação que relaciona a taxa de variação do volume do cone com a taxa de variação da área da sua base.
a) Determine a área da base,
b) Determine uma equação que relaciona a taxa de variação do volume do cone com a taxa de variação da área da sua base.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação 1: Em qualquer instante
a altura do cone é igual ao raio da base; ambas as medidas são chamadas de . (Estou usando essa informação da figura fornecida.) - Informação 2: O volume do monte de areia cresce à taxa
(isto é um dado numérico). - Pergunta (a): Determinar a área da base
e o volume em função de . - Pergunta (b): Determinar uma equação que relacione a taxa de variação do volume
com a taxa de variação da área da base .
Passo 2
Área da base: a base do cone é um círculo. A fórmula da área de um círculo é
onde
é o raio e
é a constante (aproximadamente
). Aqui o raio vale
. Substituindo:
Explicando devagar: escrever
ao quadrado significa multiplicar
por si mesmo;
multiplica esse quadrado. A unidade fica
.
Passo 3
Volume do cone: a fórmula do volume de um cone é
Usando a área da base
e altura
temos a forma habitual
No nosso problema
e
. Substituindo:
Isso significa que o volume cresce com o cubo de
. A unidade é
.
Passo 4
Taxas de variação (revisando o cálculo diferencial): para relacionar
e
usamos derivadas temporais e a regra da cadeia. Primeiro derivamos
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
Agora derivamos
em relação a
:
Expliquei: ao derivar
usamos a regra
.
Passo 5
Eliminar
para relacionar
diretamente com
. Da expressão de
temos
Substituindo essa expressão em
obtemos:
Portanto a relação pedida é
Como consequência imediata, usando o dado numérico
, podemos escrever
ou, se preferir eliminar
em favor de
, note que
e então
Resposta
(a)
(b) (e, usando
,
).
(b)