Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante t>0, a altura do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por a(t). Sabe-se que o volume de areia no monte cresce a uma taxa de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.
a) Determine a área da base, A(t), e o volume do monte, V(t), em função de a(t).
b) Determine uma equação que relaciona a taxa de variação do volume do cone com a taxa de variação da área da sua base.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação 1: Em qualquer instante t>0 a altura do cone é igual ao raio da base; ambas as medidas são chamadas de a(t). (Estou usando essa informação da figura fornecida.)
  • Informação 2: O volume do monte de areia cresce à taxa \dfrac{dV}{dt}=10 \mathrm{m^3/h} (isto é um dado numérico).
  • Pergunta (a): Determinar a área da base A(t) e o volume V(t) em função de a(t).
  • Pergunta (b): Determinar uma equação que relacione a taxa de variação do volume \dfrac{dV}{dt} com a taxa de variação da área da base \dfrac{dA}{dt}.

Passo 2

Área da base: a base do cone é um círculo. A fórmula da área de um círculo é
A=\pi r^{2},
onde r é o raio e \pi é a constante (aproximadamente 3{,}1416). Aqui o raio vale a(t). Substituindo:
A(t)=\pi\bigl(a(t)\bigr)^{2}.
Explicando devagar: escrever a(t) ao quadrado significa multiplicar a(t) por si mesmo; \pi multiplica esse quadrado. A unidade fica \mathrm{m^2}.

Passo 3

Volume do cone: a fórmula do volume de um cone é
V=\frac{1}{3}\,(\text{área da base})\times(\text{altura}).á
Usando a área da base \pi r^{2} e altura h temos a forma habitual
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
No nosso problema r=a(t) e h=a(t). Substituindo:
V(t)=\frac{1}{3}\pi\bigl(a(t)\bigr)^{2}\cdot a(t)=\frac{1}{3}\pi\bigl(a(t)\bigr)^{3}.
Isso significa que o volume cresce com o cubo de a(t). A unidade é \mathrm{m^3}.

Passo 4

Taxas de variação (revisando o cálculo diferencial): para relacionar \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dA}{dt} usamos derivadas temporais e a regra da cadeia. Primeiro derivamos A(t)=\pi a(t)^{2} em relação a t. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dA}{dt}= \pi\cdot 2a(t)\cdot \frac{da}{dt}=2\pi a(t)\,\frac{da}{dt}.
Agora derivamos V(t)=\dfrac{1}{3}\pi a(t)^{3} em relação a t:
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\cdot 3a(t)^{2}\cdot \frac{da}{dt}=\pi a(t)^{2}\,\frac{da}{dt}.
Expliquei: ao derivar a(t)^{n} usamos a regra \dfrac{d}{dt}a(t)^{n}=n a(t)^{n-1}\dfrac{da}{dt}.

Passo 5

Eliminar \dfrac{da}{dt} para relacionar \dfrac{dV}{dt} diretamente com \dfrac{dA}{dt}. Da expressão de \dfrac{dA}{dt} temos
\frac{da}{dt}=\frac{1}{2\pi a(t)}\frac{dA}{dt}.
Substituindo essa expressão em \dfrac{dV}{dt}=\pi a(t)^{2}\dfrac{da}{dt} obtemos:
\frac{dV}{dt}=\pi a(t)^{2}\cdot \frac{1}{2\pi a(t)}\frac{dA}{dt}=\frac{a(t)}{2}\,\frac{dA}{dt}.
Portanto a relação pedida é
\frac{dV}{dt}=\frac{a(t)}{2}\,\frac{dA}{dt}.
Como consequência imediata, usando o dado numérico \dfrac{dV}{dt}=10 \mathrm{m^3/h}, podemos escrever
\frac{dA}{dt}=\frac{2}{a(t)}\frac{dV}{dt}=\frac{20}{a(t)}\quad\text{(em \(\mathrm{m^2/h}\))},
ou, se preferir eliminar a(t) em favor de A(t), note que a(t)=\sqrt{\dfrac{A(t)}{\pi}} e então
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{A(t)}{\pi}}\;\frac{dA}{dt}.

Resposta

(a) A(t)=\pi\bigl(a(t)\bigr)^{2},\quad V(t)=\dfrac{1}{3}\pi\bigl(a(t)\bigr)^{3}.
(b) \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{a(t)}{2}\,\dfrac{dA}{dt} (e, usando \dfrac{dV}{dt}=10, \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{20}{a(t)}).

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