ada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, encontre a solução geral.
Encontre a solução geral da equação homogênea associada, também conhecida como solução complementar
.
Encontre uma solução particular,
da equação diferencial pelo método de Coeficientes Indeterminados.
Encontre a solução geral da equação homogênea associada, também conhecida como solução complementar
Encontre uma solução particular,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (tudo que peguei do enunciado).
- A equação diferencial dada é
- O enunciado pede:
- Encontrar a solução geral da equação não-homogênea.
- Encontrar a solução da equação homogênea associada (solução complementar)
. - Encontrar uma solução particular
usando o método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevo a equação homogênea correspondente:
Para resolver uma EDO linear com coeficientes constantes, suponho soluções do tipo
. Substituindo na equação homogênea gera a equação característica:
Agora fatoro o polinômio:
Portanto as raízes são
com multiplicidade
e
com multiplicidade
.
Passo 3
Construir a solução complementar
a partir das raízes e suas multiplicidades. Regra: para raiz real
de multiplicidade
as soluções independentes são
.
- Para
(multiplicidade ) as soluções são e . - Para
(multiplicidade ) as soluções são e .
Assim a solução complementar é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolher a forma do polinômio indeterminado para a solução particular
usando o método de coeficientes indeterminados.
O lado direito é soma de duas partes: um polinômio
e um exponencial
. Pelo princípio da superposição posso buscar
como soma de uma parte polinomial
e uma parte exponencial
:
Regra para escolher tentativa:
- Para uma parte polinomial de grau
(aqui ) normalmente tento um polinômio de grau com coeficientes indeterminados. Porém se o exponencial com (isto é, termos constantes/polinômios) corresponde a uma raiz da equação característica, é preciso multiplicar a tentativa por , onde é a multiplicidade da raiz . - Aqui
é raiz da característica com multiplicidade . Logo devo multiplicar a tentativa polinomial por .
Portanto, para o termo polinomial de grau
a tentativa será um polinômio de grau
vezes
. Posso escrever isso como
com
incógnitos a determinar.
- Para o termo
: como não é raiz da característica, uso simplesmente
com
incógnito.
Passo 5
Determinar
para
. Vou calcular derivadas necessárias e aplicar o operador linear
.
Calculemos derivadas:
Agora aplico o operador:
Simplifico termo a termo:
Esse resultado deve igualar à parte polinomial do lado direito, que é
. Igualando coeficientes de potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . Com : . - Coeficiente constante:
. Substituindo e :
Logo
Passo 6
Determinar
para
. Calculo derivadas e aplico o operador:
Derivadas:
Aplicando o operador:
Esse resultado deve igualar ao termo exponencial da forçante,
. Portanto
Logo
Passo 7
Reunindo as partes particulares obtidas:
Pronto: temos
(Passo 3) e
(Passo 7). A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar com a particular.