ada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, encontre a solução geral.
Encontre a solução geral da equação homogênea associada, também conhecida como solução complementar y_{c}(x).
Encontre uma solução particular, y_{p}(x) da equação diferencial pelo método de Coeficientes Indeterminados.
y^{(4)}-2 y^{(3)}+y^{(2)}=12 x^{2}-72+4 e^{2 x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (tudo que peguei do enunciado).
  • A equação diferencial dada é
y^{(4)}-2y^{(3)}+y^{(2)}=12x^{2}-72+4e^{2x}.
  • O enunciado pede:
    1. Encontrar a solução geral da equação não-homogênea.
    2. Encontrar a solução da equação homogênea associada (solução complementar) y_{c}(x).
    3. Encontrar uma solução particular y_{p}(x) usando o método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevo a equação homogênea correspondente:
y^{(4)}-2y^{(3)}+y^{(2)}=0.
Para resolver uma EDO linear com coeficientes constantes, suponho soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea gera a equação característica:
r^{4}-2r^{3}+r^{2}=0.
Agora fatoro o polinômio:
r^{4}-2r^{3}+r^{2}=r^{2}(r^{2}-2r+1)=r^{2}(r-1)^{2}.
Portanto as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=1 com multiplicidade 2.

Passo 3

Construir a solução complementar y_{c}(x) a partir das raízes e suas multiplicidades. Regra: para raiz real r de multiplicidade m as soluções independentes são e^{rx},\, x e^{rx},\, x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}.
  • Para r=0 (multiplicidade 2) as soluções são e^{0x}=1 e x.
  • Para r=1 (multiplicidade 2) as soluções são e^{x} e x e^{x}.
Assim a solução complementar é
y_{c}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}x e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolher a forma do polinômio indeterminado para a solução particular y_{p} usando o método de coeficientes indeterminados.
O lado direito é soma de duas partes: um polinômio 12x^{2}-72 e um exponencial 4e^{2x}. Pelo princípio da superposição posso buscar y_{p} como soma de uma parte polinomial y_{p1} e uma parte exponencial y_{p2}:
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}.
Regra para escolher tentativa:
  • Para uma parte polinomial de grau n (aqui n=2) normalmente tento um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados. Porém se o exponencial e^{\alpha x} com \alpha=0 (isto é, termos constantes/polinômios) corresponde a uma raiz da equação característica, é preciso multiplicar a tentativa por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha.
  • Aqui \alpha=0 é raiz da característica com multiplicidade 2. Logo devo multiplicar a tentativa polinomial por x^{2}.
Portanto, para o termo polinomial de grau 2 a tentativa será um polinômio de grau 2 vezes x^{2}. Posso escrever isso como
y_{p1}=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2},
com a,b,c incógnitos a determinar.
  • Para o termo 4e^{2x}: como r=2 não é raiz da característica, uso simplesmente
y_{p2}=d\,e^{2x},
com d incógnito.

Passo 5

Determinar a,b,c para y_{p1}=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}. Vou calcular derivadas necessárias e aplicar o operador linear L[y]=y^{(4)}-2y^{(3)}+y''.
Calculemos derivadas:
\begin{aligned} y_{p1}&=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2},\\\ y_{p1}'&=4a x^{3}+3b x^{2}+2c x,\\\ y_{p1}''&=12a x^{2}+6b x+2c,\\\ y_{p1}^{(3)}&=24a x+6b,\\\ y_{p1}^{(4)}&=24a. \end{aligned}
Agora aplico o operador:
\begin{aligned} L[y_{p1}]&=y_{p1}^{(4)}-2y_{p1}^{(3)}+y_{p1}''\\\ &=24a-2(24a x+6b)+(12a x^{2}+6b x+2c). \end{aligned}
Simplifico termo a termo:
\begin{aligned} L[y_{p1}]&=12a x^{2}+(-48a+6b)x+(24a-12b+2c). \end{aligned}
Esse resultado deve igualar à parte polinomial do lado direito, que é 12x^{2}-72. Igualando coeficientes de potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}: 12a=12 \Rightarrow a=1.
  • Coeficiente de x: -48a+6b=0. Com a=1: -48+6b=0 \Rightarrow b=8.
  • Coeficiente constante: 24a-12b+2c=-72. Substituindo a=1 e b=8:
24-96+2c=-72 \quad\Rightarrow\quad -72+2c=-72 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Logo
y_{p1}=1\cdot x^{4}+8\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}=x^{4}+8x^{3}.

Passo 6

Determinar d para y_{p2}=d e^{2x}. Calculo derivadas e aplico o operador:
Derivadas:
\begin{aligned} y_{p2}&=d e^{2x},\\\ y_{p2}'&=2d e^{2x},\\\ y_{p2}''&=4d e^{2x},\\\ y_{p2}^{(3)}&=8d e^{2x},\\\ y_{p2}^{(4)}&=16d e^{2x}. \end{aligned}
Aplicando o operador:
\begin{aligned} L[y_{p2}]&=y_{p2}^{(4)}-2y_{p2}^{(3)}+y_{p2}''\\\ &=(16d-2\cdot 8d+4d)e^{2x}=(16d-16d+4d)e^{2x}=4d e^{2x}. \end{aligned}
Esse resultado deve igualar ao termo exponencial da forçante, 4e^{2x}. Portanto
4d e^{2x}=4e^{2x}\quad\Rightarrow\quad d=1.
Logo
y_{p2}=e^{2x}.

Passo 7

Reunindo as partes particulares obtidas:
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}=x^{4}+8x^{3}+e^{2x}.
Pronto: temos y_{c} (Passo 3) e y_{p} (Passo 7). A solução geral da equação não-homogênea é a soma da complementar com a particular.

Resposta

y_{c}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}x e^{x}
y_{p}(x)=x^{4}+8x^{3}+e^{2x}
y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}x e^{x}+x^{4}+8x^{3}+e^{2x}

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