Um reservatório cilíndrico (sem tampa) deve conter 500 m^{3}. O concreto da base custa \mathrm{R} \ 300 / \mathrm{m}^{2} e da parede lateral\mathrm{R} $200 / \mathrm{m}^{2}$. Determine dimensões de mínimo custo.

Passo 1

O enunciado pede que se determine as dimensões (raio e altura) de um reservatório cilíndrico sem tampa que minimize o custo de construção, sabendo que:
  • O volume que o reservatório deve conter é V=500\\ \text{m}^{3}.
  • A base (círculo) é feita de concreto que custa 300\\ \mathrm{R}\$\!/\mathrm{m}^{2}.
  • A parede lateral custa 200\\ \mathrm{R}\$\!/\mathrm{m}^{2}.
    As incógnitas são o raio da base r>0 (em metros) e a altura h>0 (em metros). O objetivo é achar r e h que minimizam o custo total sujeito à restrição de volume.

Passo 2

Vamos escrever as áreas que aparecem no custo:
  • Área da base: \text{Área}_{\text{base}}=\pi r^{2}Á.
  • Área lateral: \text{Área}_{\text{lateral}}=2\pi r hÁ.
O custo total C (em reais) é soma do custo da base com o custo da lateral:
C(r,h)=300\cdot(\pi r^{2})+200\cdot(2\pi r h).
Explicando: multiplica-se cada área pelo preço por metro quadrado correspondente.

Passo 3

Usamos a restrição do volume para eliminar uma variável. O volume do cilindro é
V=\pi r^{2} h.
Como V é dado ( 500\\ \text{m}^{3}), isolamos h:
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{500}{\pi r^{2}}.
Aqui cada símbolo significa: r raio, h altura, \pi constante 3,1415…, V volume fixo.

Passo 4

Substituímos h em C(r,h) para obter o custo como função de uma única variável r:
C(r)=300\pi r^{2}+200\cdot(2\pi r)\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}.
Simplificando o segundo termo:
200\cdot(2\pi r)\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}=400\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}= \frac{400V}{r}.
Portanto
C(r)=300\pi r^{2}+\frac{400V}{r},\qquad r>0.
Isto é intuitivo: o primeiro termo cresce com r^{2} (base mais cara se o raio aumenta) e o segundo decresce com r (altura diminui quando o raio aumenta).

Passo 5

Para minimizar C(r) derivamos em relação a r e igualamos a zero (condição de extremo).
Derivadas que usamos:
  • \dfrac{d}{dr}(r^{2})=2r.
  • \dfrac{d}{dr}\!\left(\dfrac{1}{r}\right)=-\dfrac{1}{r^{2}}.
Derivando C(r):
C'(r)=300\pi\cdot 2r + 400V\cdot\left(-\frac{1}{r^{2}}\right)=600\pi r - \frac{400V}{r^{2}}.
Igualando a zero para ponto crítico:
600\pi r - \frac{400V}{r^{2}}=0.
Multiplicando por r^{2} (positivo) obtemos
600\pi r^{3}=400V.
Isolando r^{3}:
r^{3}=\frac{400V}{600\pi}=\frac{2V}{3\pi}.

Passo 6

Substituindo V=500 obtemos a forma explícita de r:
r^{3}=\frac{2\cdot 500}{3\pi}=\frac{1000}{3\pi}, \qquad\text{logo}\qquad r=\left(\frac{1000}{3\pi}\right)^{1/3}.
Agora calculamos h usando h=V/(\pi r^{2}). Podemos simplificar usando a relação anterior: da equação 600\pi r^{3}=400V segue que 3\pi r^{3}=2V, portanto
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{(3\pi r^{3})/2}{\pi r^{2}}=\frac{3}{2}r.
Ou seja, no mínimo de custo a altura vale \dfrac{3}{2} vezes o raio. Substituindo r numérico:
r=\left(\frac{1000}{3\pi}\right)^{1/3}\approx 4,737\\ \text{m}, \qquad h=\frac{3}{2}r\approx 7,106\\ \text{m}.

Passo 7

Verificação de mínimo (teste da segunda derivada): calculamos
C''(r)=\frac{d}{dr}\left(600\pi r - \frac{400V}{r^{2}}\right)=600\pi + \frac{800V}{r^{3}}.
Como r>0 e V>0, ambos os termos são positivos, logo C''(r)>0 no ponto crítico: isso confirma que o ponto encontrado é um mínimo de custo.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação final: o raio ótimo é dado em forma fechada por \left(\dfrac{1000}{3\pi}\right)^{1/3} e a altura ótima é 3/2 desse raio. Numericamente, com arredondamento conveniente,
r\approx 4,737\\ \text{m},\qquad h\approx 7,106\\ \text{m}.
Esses valores minimizam o custo total respeitando o volume fixo.

Resposta

r=\left(\dfrac{1000}{3\pi}\right)^{1/3}\approx 4,737\\ \text{m}
h=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1000}{3\pi}\right)^{1/3}\approx 7,106\\ \text{m}

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