Um reservatório cilíndrico (sem tampa) deve conter
. O concreto da base custa
300 / \mathrm{m}^{2}
\mathrm{R} $200 / \mathrm{m}^{2}$. Determine dimensões de mínimo custo.
Passo 1
O enunciado pede que se determine as dimensões (raio e altura) de um reservatório cilíndrico sem tampa que minimize o custo de construção, sabendo que:
- O volume que o reservatório deve conter é
. - A base (círculo) é feita de concreto que custa
. - A parede lateral custa
.
As incógnitas são o raio da base(em metros) e a altura (em metros). O objetivo é achar e que minimizam o custo total sujeito à restrição de volume.
Passo 2
Vamos escrever as áreas que aparecem no custo:
- Área da base:
. - Área lateral:
.
O custo total
(em reais) é soma do custo da base com o custo da lateral:
Explicando: multiplica-se cada área pelo preço por metro quadrado correspondente.
Passo 3
Usamos a restrição do volume para eliminar uma variável. O volume do cilindro é
Como
é dado (
), isolamos
:
Aqui cada símbolo significa:
raio,
altura,
constante 3,1415…,
volume fixo.
Passo 4
Substituímos
em
para obter o custo como função de uma única variável
:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Isto é intuitivo: o primeiro termo cresce com
(base mais cara se o raio aumenta) e o segundo decresce com
(altura diminui quando o raio aumenta).
Passo 5
Para minimizar
derivamos em relação a
e igualamos a zero (condição de extremo).
Derivadas que usamos:
Derivadas que usamos:
-
. -
.
Derivando
:
Igualando a zero para ponto crítico:
Multiplicando por
(positivo) obtemos
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
obtemos a forma explícita de
:
Agora calculamos
usando
. Podemos simplificar usando a relação anterior: da equação
segue que
, portanto
Ou seja, no mínimo de custo a altura vale
vezes o raio. Substituindo
numérico:
Passo 7
Verificação de mínimo (teste da segunda derivada): calculamos
Como
e
, ambos os termos são positivos, logo
no ponto crítico: isso confirma que o ponto encontrado é um mínimo de custo.
Passo 8
Resumo numérico e interpretação final: o raio ótimo é dado em forma fechada por
e a altura ótima é
desse raio. Numericamente, com arredondamento conveniente,
Esses valores minimizam o custo total respeitando o volume fixo.