Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Passo 1
O enunciado pede: “Classifique a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade” para a equação
Dados fornecidos que vamos usar:
- A incógnita dependente é
(função de ). - A variável independente é
. - Aparece a derivada primeiro de
, isto é .
Passo 2
Tipo: explicar o que significa e avaliar.
- Definição rápida: uma equação diferencial é chamada de equação diferencial ordinária (EDO) quando há derivadas em relação a uma única variável independente; é chamada de equação diferencial parcial (EDP) quando há derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
- Aqui só aparece a variável independente
e a função com sua derivada . Logo é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 3
Ordem: definição e aplicação.
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação.
- Na equação dada a maior derivada presente é
(derivada de primeira ordem). Portanto a ordem é .
Passo 4
Linearidade: definição e verificação passo a passo.
- Definição de linearidade (ordem 1): uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
onde
,
e
dependem apenas de
(não de
).
- Verificação: escrever a equação isolando
:
Aqui o “coeficiente” do termo
quando colocada em forma padrão seria
, mas o termo do lado direito
depende de
. Outra maneira de ver: na forma original aparece o produto
— produto entre a função
e sua derivada — o que não é uma combinação linear nas incógnitas
e
.
- Conclusão: como há dependência não linear (produto
/ aparecimento de como coeficiente), a equação é não linear.
Passo 5
Comentário didático adicional (truque útil na prova): classe prática da equação e resolução rápida.
- Muitas EDOs de primeira ordem não lineares são separáveis. Verificar separabilidade aqui:
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
que dá a família de soluções implícita
ou explicitamente
- Esse passo não altera a classificação, mas é um lembrete prático: ao identificar que uma equação é não linear, verifique se é separável — isso frequentemente permite resolver a EDO na prova.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: não linear.
Ordem:
Linearidade: não linear.