Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
y y^{\prime}+t=0

Passo 1

O enunciado pede: “Classifique a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade” para a equação
y\,y^{\prime}+t=0.
Dados fornecidos que vamos usar:
  • A incógnita dependente é y (função de t).
  • A variável independente é t.
  • Aparece a derivada primeiro de y, isto é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dt}.

Passo 2

Tipo: explicar o que significa e avaliar.
  • Definição rápida: uma equação diferencial é chamada de equação diferencial ordinária (EDO) quando há derivadas em relação a uma única variável independente; é chamada de equação diferencial parcial (EDP) quando há derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
  • Aqui só aparece a variável independente t e a função y(t) com sua derivada y^{\prime}. Logo é uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 3

Ordem: definição e aplicação.
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação.
  • Na equação dada a maior derivada presente é y^{\prime} (derivada de primeira ordem). Portanto a ordem é 1.

Passo 4

Linearidade: definição e verificação passo a passo.
  • Definição de linearidade (ordem 1): uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
a_{1}(t)\,y^{\prime}+a_{0}(t)\,y=g(t),
onde a_{1}, a_{0} e g dependem apenas de t (não de y).
  • Verificação: escrever a equação isolando y^{\prime}:
y^{\prime}=-\dfrac{t}{y}.
Aqui o “coeficiente” do termo y^{\prime} quando colocada em forma padrão seria 1, mas o termo do lado direito -\dfrac{t}{y} depende de y. Outra maneira de ver: na forma original aparece o produto y\,y^{\prime} — produto entre a função y e sua derivada — o que não é uma combinação linear nas incógnitas y e y^{\prime}.
  • Conclusão: como há dependência não linear (produto y\,y^{\prime} / aparecimento de y como coeficiente), a equação é não linear.

Passo 5

Comentário didático adicional (truque útil na prova): classe prática da equação e resolução rápida.
  • Muitas EDOs de primeira ordem não lineares são separáveis. Verificar separabilidade aqui:
y\,y^{\prime}=-t \quad\Longleftrightarrow\quad y\,\frac{dy}{dt}=-t.
Separando variáveis:
y\,dy = -t\,dt.
Integrando ambos os lados:
\frac{1}{2}y^{2} = -\frac{1}{2}t^{2} + C,
que dá a família de soluções implícita
y^{2}+t^{2}=C',
ou explicitamente
y=\pm\sqrt{C'-t^{2}}.
  • Esse passo não altera a classificação, mas é um lembrete prático: ao identificar que uma equação é não linear, verifique se é separável — isso frequentemente permite resolver a EDO na prova.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 1.
Linearidade: não linear.

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