(Adaptado de Bussab & Morettin, 2021, p.60) As 20 observações a seguir referem-se a duas variáveis quantitativas, x e y.
Ajuste uma reta para os dados, através de uma regressão linear simples.
Observação
x
y
1
-22
22
2
-33
49
3
2
8
4
29
-16
5
-13
10
6
21
-28
7
-13
27
8
-23
35
9
14
-5
10
3
-3
11
-37
48
12
34
-29
13
9
-18
14
-33
31
15
20
-16
16
-3
14
17
-15
18
18
12
17
19
-20
-11
20
-7
-22
Ajuste uma reta para os dados, através de uma regressão linear simples.
Observação | x | y |
1 | -22 | 22 |
2 | -33 | 49 |
3 | 2 | 8 |
4 | 29 | -16 |
5 | -13 | 10 |
6 | 21 | -28 |
7 | -13 | 27 |
8 | -23 | 35 |
9 | 14 | -5 |
10 | 3 | -3 |
11 | -37 | 48 |
12 | 34 | -29 |
13 | 9 | -18 |
14 | -33 | 31 |
15 | 20 | -16 |
16 | -3 | 14 |
17 | -15 | 18 |
18 | 12 | 17 |
19 | -20 | -11 |
20 | -7 | -22 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para ajustarmos uma reta aos dados fornecidos usando regressão linear simples. Isso significa que a gente vai encontrar a melhor linha que representa a relação entre as variáveis $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e usar as fórmulas da regressão linear para encontrar os coeficientes da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos 20 observações com valores de $ x $ e $ y $. Para facilitar, vamos listar todas as observações e, em seguida, calcular as somas necessárias:
Passo 3
Agora, vamos calcular as seguintes somas que vão nos ajudar a encontrar os coeficientes da reta:
- $ \sum x $: Soma de todos os valores de $ x $.
- $ \sum y $: Soma de todos os valores de $ y $.
- $ \sum xy $: Soma do produto de $ x $ e $ y $ para cada observação.
- $ \sum x^2 $: Soma dos quadrados dos valores de $ x $.
Vamos calcular cada uma:
Passo 4
Agora que já temos as somas necessárias, vamos calcular a média de $ x $ e a média de $ y $:
Passo 5
Vamos usar as fórmulas da regressão linear simples para encontrar os coeficientes $ b $ (inclinação) e $ a $ (intercepto):
Mas uma forma mais prática para calcular $ b $ é:
Vamos substituir os valores que já calculamos:
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Passo 6
Agora que temos $ b $, vamos calcular $ a $:
Passo 7
Com os valores de $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever a equação da reta de regressão:
Resposta
A reta de regressão linear ajustada para os dados fornecidos é: