Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço com média de 1 cm de diâmetro. Uma amostra de 10 esferas é produzida e tem o diâmetro médio de 1,004 cm, com desvio padrão amostral s=0,003. Considere a população com distribuição normal. Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com diâmetro maior do que 1 cm , ao nível de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina que deveria produzir esferas de aço com média de 1 cm de diâmetro. Foi feita uma amostra de 10 esferas, e a média dessa amostra foi de 1,004 cm, com um desvio padrão de 0,003 cm. A gente sabe que a distribuição da população é normal. A pergunta é: será que há motivos para achar que a máquina está fazendo esferas com diâmetro maior que 1 cm, usando um nível de significância de 10% (α = 10%)? Para resolver isso, vamos precisar fazer um teste de hipóteses, especificamente um teste t, já que estamos trabalhando com uma amostra pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do nosso teste. A hipótese nula (H₀) é que a média do diâmetro das esferas é igual a 1 cm. A hipótese alternativa (H₁) é que a média é maior que 1 cm. Isso porque queremos saber se a máquina está produzindo esferas maiores que o esperado.
Então:
- H₀: μ = 1 cm
- H₁: μ > 1 cm
Passo 3
Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como temos uma amostra pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos o teste t. A fórmula para o t é:
Onde:
-
é a média amostral (1,004 cm)x -
é a média hipotética (1 cm)mu0 -
é o desvio padrão amostral (0,003 cm)s -
é o tamanho da amostra (10)n
Vamos calcular:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nosso nível de significância (α = 10%) e para os graus de liberdade (df = n - 1 = 9). Como é um teste unilateral (queremos saber se é maior), procuramos o valor de t que deixa 10% na cauda direita.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico t₀,₀.₁₀ para 9 graus de liberdade é aproximadamente 1,383.
Passo 5
Agora, comparamos nossa estatística de teste com o valor crítico:
- Se t > t₀, rejeitamos H₀.
- Se t ≤ t₀, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, t ≈ 4,22 é maior que 1,383. Portanto, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos dados da amostra e no nível de significância de 10%, há razões suficientes para suspeitar que a máquina está produzindo esferas com diâmetro maior que 1 cm.