Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço com média de 1 cm de diâmetro. Uma amostra de 10 esferas é produzida e tem o diâmetro médio de 1,004 cm, com desvio padrão amostral s=0,003. Considere a população com distribuição normal. Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com diâmetro maior do que 1 cm , ao nível de alpha=10 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina que deveria produzir esferas de aço com média de 1 cm de diâmetro. Foi feita uma amostra de 10 esferas, e a média dessa amostra foi de 1,004 cm, com um desvio padrão de 0,003 cm. A gente sabe que a distribuição da população é normal. A pergunta é: será que há motivos para achar que a máquina está fazendo esferas com diâmetro maior que 1 cm, usando um nível de significância de 10% (α = 10%)? Para resolver isso, vamos precisar fazer um teste de hipóteses, especificamente um teste t, já que estamos trabalhando com uma amostra pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do nosso teste. A hipótese nula (H₀) é que a média do diâmetro das esferas é igual a 1 cm. A hipótese alternativa (H₁) é que a média é maior que 1 cm. Isso porque queremos saber se a máquina está produzindo esferas maiores que o esperado.
Então:
  • H₀: μ = 1 cm
  • H₁: μ > 1 cm

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como temos uma amostra pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos o teste t. A fórmula para o t é:
t = x - mu0s / raizn
Onde:
  • x é a média amostral (1,004 cm)
  • mu0 é a média hipotética (1 cm)
  • s é o desvio padrão amostral (0,003 cm)
  • n é o tamanho da amostra (10)
Vamos calcular:
t = 1,004 - 10,003 / raiz10 = 0,0040,000949 approx 4,22

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nosso nível de significância (α = 10%) e para os graus de liberdade (df = n - 1 = 9). Como é um teste unilateral (queremos saber se é maior), procuramos o valor de t que deixa 10% na cauda direita.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico t₀,₀.₁₀ para 9 graus de liberdade é aproximadamente 1,383.

Passo 5

Agora, comparamos nossa estatística de teste com o valor crítico:
  • Se t > t₀, rejeitamos H₀.
  • Se t ≤ t₀, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, t ≈ 4,22 é maior que 1,383. Portanto, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados da amostra e no nível de significância de 10%, há razões suficientes para suspeitar que a máquina está produzindo esferas com diâmetro maior que 1 cm.

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