Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicações no motor de automóveis. O consumidor requer que a fração defeituosa em uma etapa crítica de fabricação seja menor do que 0,05 e que o fabricante demonstre capacidade de processo nesse nível de qualidade usando alpha=0,05. O fabricante de semicondutores retira uma amostra aleatória de 200 aparelhos e verifica que 4 deles são defeituosos. O fabricante pode demonstrar capacidade de processo para o consumidor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fabricante de semicondutores que produz controladores para motores de automóveis. O consumidor quer que menos de 5% dos aparelhos sejam defeituosos na etapa crítica de fabricação. Para provar que o processo está sob controle, o fabricante tira uma amostra de 200 aparelhos e encontra 4 defeituosos. A gente vai usar estatística, mais especificamente teste de proporção, para ver se o fabricante consegue demonstrar que a fração defeituosa é realmente menor que 5%, com um nível de confiança de 95% (α = 0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula (H₀) é que a fração defeituosa é igual a 5% ou mais. A hipótese alternativa (H₁) é que a fração defeituosa é menor que 5%. Isso porque o consumidor quer ter certeza de que menos de 5% são defeituosos.
H0: p >= 0,05
H1: p < 0,05

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção de defeituosos na amostra. Foram 4 defeituosos em 200 aparelhos, então a proporção observada é:
p = 4200 = 0,02
Isso significa que 2% dos aparelhos na amostra foram defeituosos, bem abaixo dos 5% aceitáveis.

Passo 4

Para testar nossa hipótese, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula do teste é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
onde:
  • p é a proporção observada,
  • p0 é a proporção hipotética (5%),
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
z = 0,02 - 0,05raiz0,05 times (1 - 0,05)200
z = -0,03raiz0,05 times 0,95200
z = -0,03raiz0,0475200
z = -0,03raiz0,0002375
z = -0,030,0154
z approx -1,948

Passo 6

Agora, vamos comparar o valor de z com o valor crítico para um teste unilateral à esquerda com α = 0,05. O valor crítico de z para α = 0,05 é aproximadamente -1,645.

Passo 7

Como nosso z calculado (-1,948) é menor que o valor crítico (-1,645), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, o fabricante pode demonstrar capacidade de processo, já que a fração defeituosa observada está significativamente abaixo de 5% com nível de confiança de 95%.

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