Sabe-se por experiência que 5% da produção de certo artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 500 peças do artigo com 30 defeituosas. Considerando alpha=10 %, verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente sabe que, historicamente, 5% das peças produzidas desse artigo são defeituosas. Agora, contratou-se um novo empregado que produziu 500 peças, das quais 30 estavam defeituosas. A pergunta é: com um nível de significância de 10% ( alpha=10%), esse novo empregado está produzindo mais peças defeituosas do que a média existente?
Vamos precisar usar teste de hipóteses para proporção para resolver isso. Basicamente, vamos comparar a proporção de peças defeituosas do novo empregado com a proporção conhecida (5%) para ver se há evidência de que ele está produzindo mais defeituosas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção de defeituosos do novo empregado é igual à geral, ou seja, p = 0.05.
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A proporção de defeituosos do novo empregado é maior que a geral, ou seja, p > 0.05.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada de defeituosos pelo novo empregado:
p = número de defeituososnúmero total de peças = 30500 = 0.06 ou 6% úúç

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula do erro padrão (EP) é:
EP = raizp0 (1 - p0)n = raiz0.05 times 0.95500 approx 0.0097
Onde:
  • p0 = 0.05 é a proporção esperada.
  • n = 500 é o tamanho da amostra.

Passo 5

Agora, calculamos o estatístico de teste (z) usando a diferença entre a proporção observada e a proporção esperada, dividida pelo erro padrão:
z = p - p0EP = 0.06 - 0.050.0097 approx 1.03

Passo 6

Precisamos determinar o valor crítico para um teste com alpha = 10% em uma cauda (pois estamos testando se é maior). Olhando na tabela de distribuição normal padrão, o valor crítico para z0.10 é aproximadamente 1.28.

Passo 7

Comparamos o estatístico de teste com o valor crítico:
  • Se z > 1.28, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se z <= 1.28, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, z approx 1.03 que é menor que 1.28.

Passo 8

Como o valor de z calculado (1.03) é menor que o valor crítico (1.28), não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência estatística suficiente para concluir que o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente, ao nível de significância de 10%.

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