(Adaptado) Ex. 54 e similar ao ex. 53 da . Como , então . Logo, sen , assim
Como , segue do teorema do confronto que , e portanto é diferenciável em , pois existe.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= x^2sin!l(1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para mostrar que ela é diferenciável em a=0.
O conteúdo principal que vamos usar é a definição de derivada num ponto e o teorema do confronto (ou “squeeze theorem”).

Passo 2

Pela definição de derivada em 0, temos
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0f(h)-0h =limhto0f(h)h

Passo 3

Para hneq0, vale f(h)=h^2sin!l(tfrac1hr). Assim
f(h)h =h^2sinl(tfrac1hr)h =h,sin!l(1hr)

Passo 4

Como para todo xinR vale l|sin xr|<=1, temos
l|h,sin!l(tfrac1hr)r| <= |h|cdot1 =|h|
Logo
-|h|<= h,sin!l(1hr)<=|h|
Como limhto0|h|=0, pelo teorema do confronto segue
limhto0h,sin!l(1hr)=0

Passo 5

Concluímos que
f'(0)=limhto0h,sin!l(1hr)=0,
portanto f'(0) existe e vale 0. Logo f é diferenciável em 0.

Resposta

f é diferenciável em 0 e f'(0)=0.

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