Utilizando integral tripla, calcule o volume do sólido compreendido entre o parabolóide
e o plano
. (Resposta:
)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo pelo parabolóide
e acima pelo plano
Vamos usar integral tripla em coordenadas cartesianas reduzida a uma integral dupla no plano
, calculando
onde
é a região de projeção desse sólido.
Passo 2
Para encontrar
, igualamos as superfícies:
e reorganizamos:
Logo,
é o disco de centro
e raio
.
Passo 3
No disco
temos a altura do sólido dada por
Fica então
Passo 4
Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variáveis centrando o disco:
de modo que
vira o disco
e o integrando é
. Em coordenadas polares
,
,
. Assim,
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Multiplicando por
, vem