Utilizando integral tripla, calcule o volume do sólido compreendido entre o parabolóide z=x^2+y^2 e o plano z=4 x+2 y. (Resposta: 25 pi2 )

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo pelo parabolóide
z = x^2 + y^2
e acima pelo plano
z = 4x + 2y
Vamos usar integral tripla em coordenadas cartesianas reduzida a uma integral dupla no plano xy, calculando
V = integral duplaDl[(4x+2y) - (x^2+y^2)r],dA,
onde D é a região de projeção desse sólido.

Passo 2

Para encontrar D, igualamos as superfícies:
x^2+y^2 = 4x + 2y
e reorganizamos:
x^2 - 4x + y^2 - 2y = 0 Longrightarrow (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5
Logo, D é o disco de centro (2,1) e raio raiz5.

Passo 3

No disco D temos a altura do sólido dada por
(4x+2y) - (x^2+y^2) = 5 - l[(x-2)^2 + (y-1)^2r]
Fica então
V = integral duplaDl[,5 - l((x-2)^2+(y-1)^2r)r]dA

Passo 4

Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variáveis centrando o disco:
u = x-2, v = y-1,
de modo que D vira o disco u^2+v^2<=5 e o integrando é 5 - (u^2+v^2). Em coordenadas polares u = rcostheta, v = rsintheta, dA = r,dr,dtheta. Assim,
V = integral0^2pi!integral0^raiz5l(5 - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos a integral em r:
integral0^raiz5!(5r - r^3),dr = [5r^22 - r^44]0^raiz5 = 252 - 254 = 254
Multiplicando por integral0^2pidtheta = 2pi, vem
V = 2pi cdot 254 = 25pi2

Resposta

25pi2

Exercícios relacionados