Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
,
Cé a elipse
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green na região
interna à elipse
usando
Vamos calcular
- a integral de linha
usando parametrização de , e - a integral dupla
.
Passo 2
Parametrizamos a elipse por
de modo que
Em seguida,
Logo a integral de linha é
Ao distribuir, obtemos termos proporcionais a
,
e
,
todos nulos sobre por simetria de funções pares/ímpares.
Portanto
todos nulos sobre
Portanto
Passo 3
Calculamos o “rotacional”
logo
A integral dupla sobre
é
Como
é simétrica em relação aos eixos, o termo
(ímpar em
) e o termo
(ímpar em
) têm integrais nulas. Portanto
Passo 4
Comparando
e
vemos que ambos os lados coincidem, confirmando o Teorema de Green.
e
vemos que ambos os lados coincidem, confirmando o Teorema de Green.
Resposta
A integral de linha é
e a integral dupla é
, portanto o Teorema de Green está verificado.