Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
P(x, y)=2 x-x^3 y^5, Q(x, y)=x^3 y^3,
Cé a elipse 4 x^2+y^2-4

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green na região D interna à elipse
4x^2 + y^2 = 4
usando
P(x,y) = 2x - x^3 y^5 e Q(x,y) = x^3 y^3
Vamos calcular
  1. a integral de linha ointC P,dx + Q,dy usando parametrização de C, e
  2. a integral dupla integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr)dA.

Passo 2

Parametrizamos a elipse por
x = cos t, y = 2sin t, tin[0,2pi],
de modo que
dx = -sin t,dt, dy = 2cos t,dt
Em seguida,
P(x(t),y(t)) = 2cos t - cos^3 t,(2sin t)^5 = 2cos t - 32cos^3 tsin^5 t,
Q(x(t),y(t)) = cos^3 t,(2sin t)^3 = 8cos^3 tsin^3 t
Logo a integral de linha é
ointC P,dx + Q,dy =integral0^2pil[P,dx + Q,dyr] =integral0^2pil[l(2cos t - 32cos^3 tsin^5 tr)(- sin t) +8cos^3 tsin^3 tcdot 2cos tr]dt
Ao distribuir, obtemos termos proporcionais a
integral0^2picos tsin t,dt,
integral0^2picos^3 tsin^6 t,dt e
integral0^2picos^4 tsin^3 t,dt,
todos nulos sobre [0,2pi] por simetria de funções pares/ímpares.
Portanto
ointC P,dx + Q,dy = 0

Passo 3

Calculamos o “rotacional”
partial Qpartial x =3x^2y^3, partial Ppartial y =-5x^3y^4,
logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =3x^2y^3 +5x^3y^4
A integral dupla sobre D é
integral duplaDl(3x^2y^3 +5x^3y^4r),dA
Como D é simétrica em relação aos eixos, o termo 3x^2y^3 (ímpar em y) e o termo 5x^3y^4 (ímpar em x) têm integrais nulas. Portanto
integral duplaDl(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr),dA = 0

Passo 4

Comparando
ointC P,dx + Q,dy = 0
e
integral duplaD (partialx Q - partialy P),dA = 0,
vemos que ambos os lados coincidem, confirmando o Teorema de Green.

Resposta

A integral de linha é 0 e a integral dupla é 0, portanto o Teorema de Green está verificado.

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