Questão 2 (2 pontos). Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
g(x)=x^4-4 x^3+6 x^2-3
Em seguida, determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade e a concavidade de
g(x)=x^4-4x^3+6x^2-3,
isto é, encontrar onde g cresce ou decresce, e também onde ela é côncava para cima ou para baixo, além de localizar pontos de inflexão.

Passo 2

Calcular a derivada primeira g'(x) para identificar extremos e comportamento de crescimento/decrescimento.
g'(x)=ddxl(x^4-4x^3+6x^2-3r) =4x^3-12x^2+12x =4xl(x^2-3x+3r)
O polinômio x^2-3x+3 tem discriminante De<a=9-12=-3<0, logo não se anula para xinR. O único ponto onde g'(x)=0 é x=0.

Passo 3

Como x^2-3x+3>0 em toda reta e o fator 4>0, o sinal de g'(x) coincide com o de x.
Para x<0, g'(x)<0 (função decrescente).
Para x>0, g'(x)>0 (função crescente).

Passo 4

Calcular a derivada segunda g''(x) para estudar a concavidade:
g''(x)=ddxl(4x^3-12x^2+12xr) =12x^2-24x+12 =12l(x^2-2x+1r) =12(x-1)^2

Passo 5

Observamos que (x-1)^2>=0 para todo x, com igualdade somente em x=1.
Isso significa que g''(x)>=0 em toda reta, ou seja, g é côncava para cima em (-infty,infty) e nunca muda de concavidade. Portanto não há pontos de inflexão.

Resposta

Intervalo de decrescimento: (-infty,0)
Intervalo de crescimento: (0,infty)
Concavidade: côncava para cima em (-infty,infty)
Pontos de inflexão: nenhum

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