(Adaptado de NILSSON.) Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
F(s)=\frac{8 s^{3}+89 s^{2}+311 s+300}{s(s+2)\left(s^{2}+8 s+15\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função transformada
F(s)=\frac{8 s^{3}+89 s^{2}+311 s+300}{s(s+2)\left(s^{2}+8 s+15\right)}
e pede para determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é 8 s^{3}+89 s^{2}+311 s+300.
  • O denominador é s(s+2)\left(s^{2}+8 s+15\right).
  • É preciso retornar f(t) (função no domínio do tempo) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Escolha do método: como F(s) é uma função racional com denominador que se fatoriza em fatores lineares simples (veremos isso no próximo passo), a maneira mais direta é decompor F(s) em frações parciais e depois aplicar transformadas inversas elementares. Esta é a técnica padrão para inverter transformadas racionais simples e funciona bem sem calculadora.
Lembrete das transformadas básicas que vamos usar:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}.
Pela linearidade, \mathcal{L}\{C\cdot g(t)\}=C\cdot\mathcal{L}\{g(t)\} e a transformada inversa é linear também.

Passo 3

Factorizar o denominador para ver os polos:
s^{2}+8s+15=(s+3)(s+5).
Logo o denominador se escreve totalmente como produto de fatores lineares:
s(s+2)(s+3)(s+5).

Passo 4

Montar a decomposição em frações parciais presumindo polos simples:
F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}+\frac{D}{s+5},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s+3)(s+5) obtemos a identidade em s:
8 s^{3}+89 s^{2}+311 s+300 = A(s+2)(s+3)(s+5) + B s(s+3)(s+5) + C s(s+2)(s+5) + D s(s+2)(s+3).

Passo 5

Determinar A,B,C,D usando substituição nos zeros dos fatores (método direto, simples e eficiente).
  1. Para s=0:
8\cdot0^{3}+89\cdot0^{2}+311\cdot0+300=300
e o lado direito vira A\cdot(2)(3)(5)=30A. Então
30A=300\quad\Rightarrow\quad A=10.
  1. Para s=-2:
    Calcular o lado esquerdo em s=-2:
8(-2)^{3}+89(-2)^{2}+311(-2)+300 = 8(-8)+89(4)-622+300.
Fazendo as contas:
8(-8)=-64,\quad 89\cdot4=356,\quad -622,\quad +300.
Somando: -64+356-622+300 = -30.
O lado direito em s=-2 reduz a B\cdot(-2)\cdot(1)\cdot(3)=-6B. Portanto
-6B = -30 \quad\Rightarrow\quad B=5.
  1. Para s=-3:
    Calcular o lado esquerdo em s=-3:
8(-3)^{3}+89(-3)^{2}+311(-3)+300 = 8(-27)+89(9)-933+300.
Fazendo as contas:
8(-27)=-216,\quad 89\cdot9=801,\quad -933,\quad +300.
Somando: -216+801-933+300 = -48.
O lado direito em s=-3 reduz a C\cdot(-3)\cdot(-1)\cdot2=6C. Portanto
6C = -48 \quad\Rightarrow\quad C=-8.
  1. Para s=-5:
    Calcular o lado esquerdo em s=-5:
8(-5)^{3}+89(-5)^{2}+311(-5)+300 = 8(-125)+89(25)-1555+300.
Fazendo as contas:
8(-125)=-1000,\quad 89\cdot25=2225,\quad -1555,\quad +300.
Somando: -1000+2225-1555+300 = -30.
O lado direito em s=-5 reduz a D\cdot(-5)\cdot(-3)\cdot(-2)=-30D. Portanto
-30D = -30 \quad\Rightarrow\quad D=1.

Passo 6

Agora escrevemos a decomposição completa com os valores encontrados:
F(s)=\frac{10}{s}+\frac{5}{s+2}+\frac{-8}{s+3}+\frac{1}{s+5}.
Ou de forma mais limpa:
F(s)=\frac{10}{s}+\frac{5}{s+2}-\frac{8}{s+3}+\frac{1}{s+5}.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}.
Assim:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{10}{s}\right\}=10\cdot 1=10.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{5}{s+2}\right\}=5 e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{8}{s+3}\right\}=-8 e^{-3t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+5}\right\}=e^{-5t}.
Somando os termos (pela linearidade) obtemos a função no tempo:
f(t)=10 + 5 e^{-2t} - 8 e^{-3t} + e^{-5t},\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=10 + 5 e^{-2t} - 8 e^{-3t} + e^{-5t},\; t\ge 0.

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