(Adaptado de NILSSON.) Determine
para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função transformada
e pede para determinar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
.
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - É preciso retornar
(função no domínio do tempo) tal que .
Passo 2
Escolha do método: como
é uma função racional com denominador que se fatoriza em fatores lineares simples (veremos isso no próximo passo), a maneira mais direta é decompor
em frações parciais e depois aplicar transformadas inversas elementares. Esta é a técnica padrão para inverter transformadas racionais simples e funciona bem sem calculadora.
Lembrete das transformadas básicas que vamos usar:
Pela linearidade,
e a transformada inversa é linear também.
Passo 3
Factorizar o denominador para ver os polos:
Logo o denominador se escreve totalmente como produto de fatores lineares:
Passo 4
Montar a decomposição em frações parciais presumindo polos simples:
onde
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Passo 5
Determinar
usando substituição nos zeros dos fatores (método direto, simples e eficiente).
- Para
:
e o lado direito vira
. Então
- Para
:
Calcular o lado esquerdo em:
Fazendo as contas:
Somando:
.
O lado direito em reduz a
. Portanto
O lado direito em
- Para
:
Calcular o lado esquerdo em:
Fazendo as contas:
Somando:
.
O lado direito em reduz a
. Portanto
O lado direito em
- Para
:
Calcular o lado esquerdo em:
Fazendo as contas:
Somando:
.
O lado direito em reduz a
. Portanto
O lado direito em
Passo 6
Agora escrevemos a decomposição completa com os valores encontrados:
Ou de forma mais limpa:
Passo 7
Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando que
e
.
Assim:
Somando os termos (pela linearidade) obtemos a função no tempo: