(adaptado de PORTO, 2006, pg. 116) Dois reservatórios prismáticos, um de área igual a
e outro de área igual a
, estão ligados por uma tubulação de 125 m de comprimento e 50 mm de diâmetro, com fator de atrito
. Determine o tempo necessário para que um volume de
de água seja transferido do tanque maior para o menor, se a diferença de nível inicial entre eles é de
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o tempo necessário para que um volume de
de água seja transferido do tanque maior para o tanque menor, dado que a diferença de nível inicial entre eles é
.
Informações fornecidas (vou listar e padronizar em símbolos):
Nota: vamos assumir escoamento incompressível, regime gradual (velocidade nos tanques desprezível frente à velocidade na tubulação) e desprezar perdas menores além da perda por atrito na tubulação (modelo usual para dois reservatórios ligados por um tubo longo).
Passo 2
Relação entre volume transferido e variação da diferença de nível.
Se, ao longo do processo, o tanque 1 perde volume
e o tanque 2 ganha o mesmo volume
, as variações de nível em cada tanque são:
A diferença de nível
muda, portanto, de acordo com
onde
é a diferença de nível após a transferência do volume
.
Calculemos numericamente
:
Passo 3
Expressão do vazão
em função da diferença de nível
usando Darcy–Weisbach.
A perda de carga por atrito na tubulação é dada por
onde
é a velocidade média no tubo e
a gravidade. A diferença de nível entre os tanques
é que impulsiona o escoamento e, desprezando outras perdas e velocidades nos tanques, temos
. A vazão volumétrica é
, com
área da seção do tubo:
Substituindo
em Darcy–Weisbach e isolando
obtemos
Isto mostra que
é proporcional a
.
Calculemos
numericamente:
Passo 4
Equação diferencial que descreve a evolução de
.
Quando flui vazão
do tanque 1 para o tanque 2:
Logo a diferença
satisfaz
Substituindo
da fórmula do passo anterior:
Para simplificar, definimos a constante positiva
de modo que a ODE fica
Passo 5
Resolução da ODE (separação de variáveis) para obter o tempo necessário para que
vá de
a
.
A equação é separável:
Integramos de
(quando
) até
(quando
):
A integral à esquerda é
. Portanto
ou
Esta fórmula nos dá o tempo necessário para a diferença de nível cair de
para
.
Passo 6
Cálculo numérico detalhado de todas as constantes e do tempo.
Relembrando valores numéricos:
Calculemos o fator sob a raiz:
A raiz é
Agora a constante
:
Multiplicando em etapas:
Os termos da solução:
Diferença:
Finalmente o tempo:
Convertendo para minutos: