(SILVESTRE, 1982, pg. 29) Projete o sistema adutor de uma pequena cidade cujos dados são: População = 15.000 habitantes, no fim do alcance do projeto.
Consumo per capita =200 \mathrm{~L} / hab. / dia, no dia de maior demanda. Comprimento da adutora =5.300 \mathrm{~m}(\mathrm{C}=130).
NA do manancial =980,65 \mathrm{~m}. NA
do reservatório =940,36 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede projetar a adutora (especificar características hidráulicas necessárias):
  • População no fim do projeto: 15\,000 habitantes.
  • Consumo per capita no dia de maior demanda: 200\\ \mathrm{L/hab\cdot dia}.
  • Comprimento da adutora: 5\,300\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=130.
  • N.A. (nível de água) do manancial: 980,65\\ \mathrm{m}.
  • N.A. do reservatório: 940,36\\ \mathrm{m}.
O que precisamos obter (objetivos do projeto, explicitados):
  • Vazão a ser bombeada/conduzida pela adutora (converter consumo total para \mathrm{m^3/s}).
  • Diâmetro interno da tubulação que satisfaça a condição de escoamento por gravidade entre manancial e reservatório (ou seja, perdas por atrito h_f menores que a cabeça disponível).
  • Verificar velocidade e perda de carga total e deixar margem de segurança.

Passo 2

Calcular a vazão de projeto Q.
Explicação rápida do conceito: a vazão é o volume de água por unidade de tempo que a adutora deve transportar. Começamos computando o consumo total diário e transformamos para \mathrm{m^3/s}.
Cálculo:
  • Consumo total diário em litros: 15\,000\\ \text{hab}\times 200\\ \mathrm{L/hab\cdot dia}=3\,000\,000\\ \mathrm{L/dia}.
  • Converter para \mathrm{m^3/dia}: 3\,000\,000\\ \mathrm{L/dia}=3\,000\\ \mathrm{m^3/dia}.
  • Converter para \mathrm{m^3/s}: para isso dividimos por 86\,400 (n.º de segundos por dia):
Q=\frac{3\,000}{86\,400}\\ \mathrm{m^3/s}=0,034722\\ \mathrm{m^3/s}.
Observação: usei a conversão 1\\ \mathrm{m^3}=1\,000\\ \mathrm{L} e 1\\ \text{dia}=86\,400\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Apresentar a fórmula escolhida para perda de carga por atrito e explicar suas variáveis.
Escolhi a fórmula de Hazen–Williams (muito usada em redes de água potável em tubulações cheias e para água limpa), na forma prática em unidades SI:
h_f = 10{,}67\; \dfrac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito ao longo da tubulação, em metros ( \mathrm{m});
  • L é o comprimento da tubulação, em metros ( \mathrm{m});
  • Q é a vazão em \mathrm{m^3/s};
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional); o enunciado deu C=130;
  • D é o diâmetro interno da tubulação, em metros ( \mathrm{m});
  • os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 fazem parte da formulação empírica de Hazen–Williams.
Observação didática: essa fórmula já dá h_f direto em metros quando L está em metros, Q em \mathrm{m^3/s}, D em metros e C adimensional.

Passo 4

Calcular a cabeça disponível para vencer as perdas (diferença de níveis).
Definição: a cabeça disponível H é a diferença entre o nível do manancial e o nível do reservatório; essa é a energia potencial disponível para vencer as perdas por atrito e eventuais perdas locais.
Cálculo:
H = \text{N.A. manancial} - \text{N.A. reservatório} = 980{,}65 - 940{,}36 = 40{,}29\\ \mathrm{m}.ó
Interpretação: a perda de carga total da adutora deve ser menor que 40{,}29\\ \mathrm{m} para que o escoamento por gravidade seja possível (deixar alguma sobra é desejável).

Passo 5

Determinar o diâmetro D que tornaria a perda de carga igual à cabeça disponível (solução direta da equação de Hazen–Williams).
Raciocínio: podemos encontrar o diâmetro teórico D resolvendo a equação h_f = H para D. Assim teremos um diâmetro que usa toda a cabeça disponível; na prática arredondamos para o diâmetro comercial imediatamente acima.
Isolando D na fórmula:
H = 10{,}67\; \dfrac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}
\Rightarrow D^{4{,}87} = 10{,}67\; \dfrac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;H}
\Rightarrow D = \left(10{,}67\; \dfrac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;H}\right)^{\frac{1}{4{,}87}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular D passo a passo.
Dados numéricos que vamos usar (já calculados):
  • Q=0{,}034722\\ \mathrm{m^3/s} (Passo 2).
  • L=5\,300\\ \mathrm{m}.
  • C=130.
  • H=40{,}29\\ \mathrm{m}.
Cálculos intermediários (mostrando como obter cada termo):
  • Q^{1{,}852}: usando cálculo numérico obtemos Q^{1{,}852}\approx 0{,}001989.
  • C^{1{,}852}: 130^{1{,}852}\approx 8{,}22\times 10^{3}.
  • Numerador: 10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67\cdot 5\,300\cdot 0{,}001989 \approx 112{,}56.
  • Denominador (sem D^{4{,}87}): C^{1{,}852}\cdot H \approx 8{,}22\times 10^{3}\cdot 40{,}29 \approx 3{,}31\times 10^{5}.
  • Fração: \dfrac{112{,}56}{3{,}31\times 10^{5}}\approx 3{,}398\times 10^{-4}.
Agora o expoente:
D = \left(3{,}398\times 10^{-4}\right)^{\frac{1}{4{,}87}} \approx 0{,}194\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o diâmetro teórico que consumiria toda a cabeça disponível seria cerca de 0{,}194\\ \mathrm{m} (194 mm).

Passo 7

Escolher diâmetro comercial e recalcular perdas e velocidade para verificação.
Motivação prática: usamos sempre diâmetros comerciais; escolhemos o próximo diâmetro comercial acima de 0{,}194\\ \mathrm{m}, que é D=0{,}20\\ \mathrm{m} (DN200). Arredondar para cima dá folga de perda e facilita execução.
Recalcular perda de carga total para D=0{,}20\\ \mathrm{m} usando Hazen–Williams.
Cálculo de h_f:
  • Já tínhamos o numerador 10{,}67\;L\;Q^{1{,}852}\approx 112{,}56.
  • Calcular D^{4{,}87} = 0{,}20^{4{,}87}\approx 3{,}97\times 10^{-4}.
  • Produto C^{1{,}852}\cdot D^{4{,}87}\approx 8{,}22\times 10^{3}\cdot 3{,}97\times 10^{-4}\approx 3{,}263.
  • Portanto:
h_f = \frac{112{,}56}{3{,}263}\approx 34{,}49\\ \mathrm{m}.
Comparação com a cabeça disponível H=40{,}29\\ \mathrm{m}: a perda estimada 34{,}49\\ \mathrm{m} é menor que H, sobrando margem.

Passo 8

Calcular a velocidade média na tubulação e verificar se está na faixa adequada.
Fórmulas:
A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad v=\frac{Q}{A}.
Cálculo com D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
  • Área: A=\dfrac{\pi\cdot 0{,}20^2}{4}=\dfrac{\pi\cdot 0{,}04}{4}\approx 0{,}031416\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade: v=\dfrac{0{,}034722}{0{,}031416}\approx 1{,}105\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: velocidades entre cerca de 0{,}6 e 2{,}0\\ \mathrm{m/s} são tipicamente recomendadas para adutoras de água potável (evitam sedimentos e não geram perdas excessivas). A velocidade calculada está nessa faixa, portanto é aceitável.

Passo 9

Verificar margem de segurança e perda por km (indicadores práticos).
  • Reserva de cabeça: H - h_f = 40{,}29 - 34{,}49 = 5{,}80\\ \mathrm{m}. Essa sobra permite pequenas perdas locais ou variações sem comprometer o escoamento.
  • Perda por quilômetro: \dfrac{34{,}49}{5{,}3}\\ \mathrm{m/km}\approx 6{,}51\\ \mathrm{m/km}. É um valor razoável para uma adutora longa; não é excessivo.

Passo 10

Resumo prático do projeto (o que especificar na planta/nota técnica)
  • Vazão de projeto: Q=0{,}034722\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Escolher tubulação com diâmetro interno comercial D=0{,}20\\ \mathrm{m} (DN200).
  • Perda de carga total calculada: h_f\approx 34{,}49\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média na tubulação: v\approx 1{,}105\\ \mathrm{m/s}.
  • Sobra de carga (margem): 5{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Perda específica: 6{,}51\\ \mathrm{m/km}.
Esses são os elementos mínimos que você deve levar como resultado do projeto da adutora. Se quiser eu monto uma tabela final ou faço checagens adicionais (ex.: perdas locais, material da tubulação e rugosidade real, verificação de trâmites por variação de nível), eu continuo — mas a escolha essencial do diâmetro e a verificação hidráulica principiaram aqui.

Resposta

Q=0{,}034722\\ \mathrm{m^3/s}
D_{\text{adutora}}=0{,}20\\ \mathrm{m} (DN200)
v=1{,}105\\ \mathrm{m/s}
h_f=34{,}49\\ \mathrm{m}
\text{Reserva de carga}=5{,}80\\ \mathrm{m}
\text{Perda por km}=6{,}51\\ \mathrm{m/km}

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