Um tubo de aço ( \mathrm{E}=2,07 \times 10^{8} \mathrm{kPa}, \mathrm{L}=1500 \mathrm{~m}, Dint =300 \mathrm{~mm}, \mathrm{e}=10 \mathrm{~mm} ) conduz água a 20^{\circ} \mathrm{C}. A

INSTITUTO FEDERAL

velocidade inicial é \mathrm{V}_{0}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma válvula na extremidade a jusante é fechada tão rapidamente que o movimento é considerado instantâneo, reduzindo a velocidade para zero. Dados \rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{K}=2,20 \times 10^{6} \mathrm{kPa}. Com base em uma análise simplificada, determine:
  • A velocidade da onda do pulso de pressão na tubulação.
  • O aumento de pressão na válvula.
  • O período de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação de aço com água e pede três coisas: a velocidade da onda de pulso (celeridade), o aumento de pressão quando a válvula é fechada instantaneamente e o período de oscilação. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\;E = 2,07\times10^{8}\\ \mathrm{kPa} (módulo de Young do aço)
\;L = 1500\\ \mathrm{m} (comprimento da tubulação)
\;D_{\text{int}} = 300\\ \mathrm{mm} = 0,300\\ \mathrm{m} (diâmetro interno)
\;e = 10\\ \mathrm{mm} = 0,010\\ \mathrm{m} (espessura da parede)
\;V_{0} = 1\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial do escoamento)
\;\rho = 998\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade da água a 20^\circ\mathrm{C})
\;K = 2,20\times10^{6}\\ \mathrm{kPa} (módulo de compresibilidade do fluido)
O que precisamos encontrar:
  1. velocidade da onda do pulso na tubulação;
  2. aumento de pressão na válvula após fechamento instantâneo;
  3. período de oscilação do sistema.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter E e K para unidades de Pascal (SI) porque as fórmulas usam Pa e kg/m³.
Converter 1\\ \mathrm{kPa}=10^{3}\\ \mathrm{Pa}. Então:
E = 2,07\times10^{8}\\ \mathrm{kPa} = 2,07\times10^{8}\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 2,07\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
K = 2,20\times10^{6}\\ \mathrm{kPa} = 2,20\times10^{6}\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 2,20\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Também definimos o diâmetro interno e a espessura em metros (já anotados): \;D = 0,300\\ \mathrm{m}, \;e = 0,010\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Apresento a fórmula usada para calcular a celeridade a da onda em uma tubulação cheia e com parede elástica (fórmula padrão da hidráulica dinâmica — “water hammer” em regime linear):
a = \sqrt{\dfrac{K}{\rho\Big(1 + \dfrac{K\,D}{E\,e}\Big)}}.
Explicação didática da fórmula:
  • \;a é a velocidade da onda (m/s).
  • \;K é o módulo de compressibilidade do fluido (Pa). Um K grande torna a água menos compressível e aumenta a.
  • \;\rho é a densidade do fluido (kg/m³). Uma densidade maior reduz a.
  • O termo \dfrac{K D}{E e} aparece por conta da deformação da parede da tubulação: se a parede for mais flexível (pequeno E ou pequena razão e/D), a tubulação cede e a onda anda mais devagar.
    Alternativamente essa mesma fórmula pode ser escrita como
a = \dfrac{1}{\sqrt{\rho\left(\dfrac{1}{K} + \dfrac{D}{E e}\right)}}.
As duas formas são algebraicamente equivalentes; usei a primeira para substituição direta.

Passo 4

Agora calculo passo a passo o valor numérico de a.
Calculo do fator adimensional \dfrac{K D}{E e}:
\dfrac{K D}{E e} = \dfrac{2,20\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\times 0,300\\ \mathrm{m}}{2,07\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}\times 0,010\\ \mathrm{m}}.
Numerador: 2,20\times10^{9}\times0,300 = 6,60\times10^{8}.
Denominador: 2,07\times10^{11}\times0,010 = 2,07\times10^{9}.
\dfrac{K D}{E e} = \dfrac{6,60\times10^{8}}{2,07\times10^{9}} \approx 0,3188.
Então 1 + \dfrac{K D}{E e} \approx 1 + 0,3188 = 1,3188.
Substituindo na fórmula de a:
a = \sqrt{\dfrac{2,20\times10^{9}}{998 \times 1,3188}}.
Calculo do denominador interno: 998\times1,3188 \approx 1316,16.
Dividindo: \dfrac{2,20\times10^{9}}{1316,16} \approx 1,6719\times10^{6}.
Raiz quadrada:
a \approx \sqrt{1,6719\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s} \approx 1,292\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
a \approx 1,29\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} \quad(\text{ou } a\approx 1292\\ \mathrm{m/s}).

Passo 5

Cálculo do aumento de pressão na válvula usando a fórmula de Joukowsky (válvula fechada instantaneamente):
\Delta p = \rho\,a\,\Delta V.
Aqui:
  • \Delta p é o aumento súbito de pressão (Pa).
  • \Delta V é a variação de velocidade do fluido (m/s). Como a válvula fecha instantaneamente e a velocidade passa de V_{0} para zero, \Delta V = V_{0} = 1\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo:
\Delta p = 998\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 1292\\ \mathrm{m/s}\times 1\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}2897\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Converter para kPa (dividir por 10^{3}):
\Delta p \approx 1289{,}7\\ \mathrm{kPa} \approx 1{,}29\times10^{3}\\ \mathrm{kPa}.
Observação física rápida: esse valor é grande (≈1,29 MPa) porque, embora a velocidade inicial fosse pequena, a alta celeridade multiplica a densidade e gera um salto de pressão significativo quando a parada é instantânea.

Passo 6

Cálculo do período de oscilação. Em uma análise simplificada de ondas em tubulação com ambas extremidades refletindo (a onda percorre um ida e volta), o período fundamental T é o tempo que a onda leva para ir e voltar ao ponto considerado:
T = \dfrac{2L}{a}.
Explicação: a onda percorre distância 2L para completar um ciclo (ida + volta). Substituindo L=1500\\ \mathrm{m} e a\approx1292\\ \mathrm{m/s}:
T = \dfrac{2\times1500}{1292}\\ \mathrm{s} \approx \dfrac{3000}{1292}\\ \mathrm{s} \approx 2{,}32\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Resumo rápido dos valores obtidos (para checagem mental): a celeridade é da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{m/s} (compatível com celeridade em água em tubos de aço), o pico de pressão é da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{Pa} (MPa) para fechamento instantâneo, e o período é alguns segundos para 1,5 km de tubulação — faz sentido físico.

Resposta

a \approx 1{,}29\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
\Delta p \approx 1{,}29\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\\ (=1{,}29\times10^{3}\\ \mathrm{kPa})
T \approx 2{,}32\\ \mathrm{s}

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