Adicionando-se 100 mL de ácido sulfúrico 1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} a 100 mL de uma solução que contém 8,29 \times 10^{-3} \mathrm{~g} de íons chumbo, qual o teor de chumbo que permanece sem precipitar?

Passo 1

Enunciado e dados (do que o problema pede e o que é dado):
  • Temos 100\\ \mathrm{mL} de ácido sulfúrico de concentração 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Misturam-se esses 100\\ \mathrm{mL} com 100\\ \mathrm{mL} de uma solução que contém 8{,}29\times10^{-3}\\ \mathrm{g} de íons chumbo.
  • Volume total após mistura: 200\\ \mathrm{mL}.
  • O problema pede: qual o teor (massa) de chumbo que permanece em solução (sem precipitar) após o equilíbrio com o ânion sulfato?
  • Observação: o precipitado esperado é o sulfato de chumbo sólido \mathrm{PbSO_4(s)}. (Não foram fornecidos outros dados; usarei o valor usual do produto de solubilidade do \mathrm{PbSO_4} conforme explicado adiante.)

Passo 2

Calcular as mols de \mathrm{H_2SO_4} adicionadas.
  • Converto volumes para litros: 100\\ \mathrm{mL}=0{,}100\\ \mathrm{L}.
  • Mols de \mathrm{H_2SO_4}:
n_{\mathrm{H_2SO_4}} = C\cdot V = \left(1{,}0\times10^{-3}\right)\cdot0{,}100 = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
  • Cada mol de \mathrm{H_2SO_4} pode originar até 1 mol de íon \mathrm{SO_4^{2-}} (pois a fórmula do sulfato é \mathrm{SO_4^{2-}}). Vou verificar rapidamente se é razoável considerar que a segunda dissociação de \mathrm{H_2SO_4} produz praticamente esse \mathrm{SO_4^{2-}} na concentração dada: a segunda constante de dissociação é \mathrm{K_{a2}\approx1{,}2\times10^{-2}}. Aplicando a equação da dissociação (breve conta), obtemos que a fração dissociada é praticamente total para C=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{M}, portanto podemos tomar que a quantidade de \mathrm{SO_4^{2-}} produzida é \;1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Concentração inicial de \mathrm{SO_4^{2-}} após mistura (antes de qualquer precipitado).
  • Volume total: V_{\text{tot}}=0{,}100+0{,}100=0{,}200\\ \mathrm{L}.
  • Mols de \mathrm{SO_4^{2-}}: n_{\mathrm{SO_4^{2-}}}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
  • Concentração inicial:
[\mathrm{SO_4^{2-}}]_0 = \frac{n_{\mathrm{SO_4^{2-}}}}{V_{\text{tot}}} = \frac{1{,}0\times10^{-4}}{0{,}200} = 5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 4

Converter a massa de chumbo para mols e calcular a concentração inicial de \mathrm{Pb^{2+}}.
  • Massa de chumbo: m_{\mathrm{Pb}}=8{,}29\times10^{-3}\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar do chumbo: tomo M_{\mathrm{Pb}}=207{,}2\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Mols de \mathrm{Pb^{2+}}:
n_{\mathrm{Pb^{2+}}}=\frac{m_{\mathrm{Pb}}}{M_{\mathrm{Pb}}}=\frac{8{,}29\times10^{-3}}{207{,}2}=4{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
  • Concentração inicial após mistura:
[\mathrm{Pb^{2+}}]_0=\frac{4{,}00\times10^{-5}}{0{,}200}=2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 5

Produto iônico inicial e comparação com o produto de solubilidade \mathrm{K_{sp}}.
  • Produto iônico inicial:
Q_0=[\mathrm{Pb^{2+}}]_0\cdot[\mathrm{SO_4^{2-}}]_0 = \left(2{,}00\times10^{-4}\right)\left(5{,}0\times10^{-4}\right)=1{,}00\times10^{-7}.
  • Produto de solubilidade do \mathrm{PbSO_4} (valor padrão usado aqui): \mathrm{K_{sp}(PbSO_4)=1{,}6\times10^{-8}}.
  • Como Q_0> \mathrm{K_{sp}} ( 1{,}00\times10^{-7}>1{,}6\times10^{-8}), ocorre precipitação de \mathrm{PbSO_4(s)} até que o equilíbrio seja restabelecido com [\mathrm{Pb^{2+}}]\cdot[\mathrm{SO_4^{2-}}]=\mathrm{K_{sp}}.

Passo 6

Montar equações de equilíbrio para quantificar quanto de \mathrm{Pb^{2+}} permanece em solução.
  • Defino y = número de mols de \mathrm{Pb^{2+}} que permanecem dissolvidos no equilíbrio (mols).
  • Mols iniciais: n_{\mathrm{Pb}}^{0}=4{,}00\times10^{-5}, n_{\mathrm{SO_4}}^{0}=1{,}0\times10^{-4}.
  • Mols precipitados de \mathrm{PbSO_4} = n_{\mathrm{Pb}}^{0}-y. Isso consome igual número de mols de \mathrm{SO_4^{2-}}.
  • Mols finais de sulfato:
n_{\mathrm{SO_4}}^{f}=n_{\mathrm{SO_4}}^{0}-(n_{\mathrm{Pb}}^{0}-y)=\left(1{,}0\times10^{-4}\right)-\left(4{,}00\times10^{-5}\right)+y=6{,}0\times10^{-5}+y.
  • Concentrações em equilíbrio (volume total 0{,}200\\ \mathrm{L}):
[\mathrm{Pb^{2+}}]_{eq}=\frac{y}{0{,}200},\qquad [\mathrm{SO_4^{2-}}]_{eq}=\frac{6{,}0\times10^{-5}+y}{0{,}200}.
  • Condição de equilíbrio com \mathrm{K_{sp}}:
\left(\frac{y}{0{,}200}\right)\left(\frac{6{,}0\times10^{-5}+y}{0{,}200}\right)=1{,}6\times10^{-8}.
  • Multiplico ambos os lados por (0{,}200)^2=0{,}04:
y\left(6{,}0\times10^{-5}+y\right)=1{,}6\times10^{-8}\cdot0{,}04=6{,}4\times10^{-10}.
  • Isso gera a equação quadrática:
y^2 + 6{,}0\times10^{-5}y - 6{,}4\times10^{-10}=0.

Passo 7

Resolver a quadrática e obter y.
  • Coeficientes: a=1, b=6{,}0\times10^{-5}, c=-6{,}4\times10^{-10}.
  • Discriminante:
\Delta = b^2-4ac = \left(6{,}0\times10^{-5}\right)^2 - 4(1)\left(-6{,}4\times10^{-10}\right)=3{,}6\times10^{-9}+2{,}56\times10^{-9}=6{,}16\times10^{-9}.
  • Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}= \sqrt{6{,}16\times10^{-9}}=7{,}85\times10^{-5}.
  • Solução positiva (a física):
y=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-6{,}0\times10^{-5}+7{,}85\times10^{-5}}{2}=9{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}.

Passo 8

Converter y (mols de \mathrm{Pb^{2+}} em solução) para massa de chumbo que permanece sem precipitar.
  • Massa remanescente:
m_{\mathrm{Pb,\,rem}}=y\cdot M_{\mathrm{Pb}}=\left(9{,}25\times10^{-6}\right)\left(207{,}2\right)=1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{g}.
  • Interpretação rápida: de 8{,}29\times10^{-3}\\ \mathrm{g} iniciais, aproximadamente 1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{g} permanecem dissolvidos; o resto precipita como \mathrm{PbSO_4}.

Resposta

1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{g}

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