5 mols de ar sofrem uma expansão isotérmica ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e o volume do gás passou de 5 L para 20 litros. Calcular: (a) o trabalho executado em kJ. (b) A quantidade de calor em kJ e (c) a variação da energia interna. (Dados : \mathrm{R}=8,31451 \mathrm{~J} . \mathrm{K}^{-1} . \mathrm{mol}^{-1} ).

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que é pedido):\n
  • Temos n=5 mols de gás (ar) que sofrem uma expansão isotérmica a 20^\circ\mathrm{C}.\n
  • Volume inicial V_i=5\\ \mathrm{L}.\n
  • Volume final V_f=20\\ \mathrm{L}.\n
  • Constante dos gases: R=8,31451\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} (dado).\n
    Perguntas do enunciado:\n
    (a) Calcular o trabalho executado pelo gás em \mathrm{kJ}.\n
    (b) Calcular a quantidade de calor trocada em \mathrm{kJ}.\n
    (c) Calcular a variação da energia interna em \mathrm{kJ}.

Passo 2

Regras físicas e convenções que vamos usar (explicando passo a passo):\n
  • Definição de trabalho em processos quasistáticos: o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande é dado por \displaystyle W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV. Aqui adotamos a convenção usual: W>0 quando o gás realiza trabalho sobre o meio externo.\n
  • Equação dos gases ideais: \displaystyle p=\frac{nRT}{V}, onde:\n - p é a pressão (em Pa se usarmos SI),\n - n é a quantidade de matéria (mol),\n - R é a constante dos gases,\n - T é a temperatura absoluta em kelvin,\n - V é o volume.\n
  • Primeira lei da Termodinâmica (forma usada aqui): \displaystyle \Delta U = Q - W, onde:\n - \Delta U é a variação da energia interna do sistema,\n - Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se recebido),\n - W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o gás realiza trabalho).\n
  • Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico ideal, a energia interna depende somente da temperatura: U=U(T). Assim, em um processo isotérmico (temperatura constante), temos \displaystyle \Delta U=0. Vou explicar isso mais abaixo com calma.

Passo 3

Derivando a expressão do trabalho para uma expansão isotérmica de um gás ideal (aulas passo a passo):\n
Partimos de \displaystyle W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV. Substituímos p pela equação dos gases ideais:
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
Aqui n, R e T são constantes durante o processo isotérmico, então podemos tirá‑los da integral:
W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,dV.
A integral de 1/V é o logaritmo natural, portanto:
W = nRT \left[\ln V\right]_{V_i}^{V_f} = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Explicando as variáveis na fórmula final:\n
  • n é o número de mols (aqui 5),\n
  • R é a constante dos gases em \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}},\n
  • T é a temperatura absoluta em kelvin,\n
  • \ln(\tfrac{V_f}{V_i}) é o logaritmo natural da razão de volumes (adimensional). Note que a razão de volumes é adimensional, então não importa se V está em litros ou em \mathrm{m^3} — contanto que ambos volumes estejam na mesma unidade.

Passo 4

Cálculo numérico do trabalho com todos os passos e contas explicadas:\n
  1. Converter a temperatura para kelvin:\n
T = 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.\n
  1. Calcular a razão de volumes e seu logaritmo natural:\n
\frac{V_f}{V_i}=\frac{20}{5}=4,\qquad \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln 4 \approx 1{,}3862943611.\n
  1. Calcular nRT:\n
R T = 8{,}31451 \cdot 293{,}15 \approx 2\,437{,}3986065\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}},\n
nRT = 5 \cdot 2\,437{,}3986065 \approx 12\,186{,}9930325\\ \mathrm{J}.\n
  1. Finalmente o trabalho:\n
W = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \approx 12\,186{,}9930325 \cdot 1{,}3862943611 \approx 16\,894{,}759707\\ \mathrm{J}.\n
  1. Converter para \mathrm{kJ} dividindo por 1000:\n
W \approx 16{,}894759707\\ \mathrm{kJ} \approx 16{,}895\\ \mathrm{kJ} \quad(\text{arredondado}).

Passo 5

Cálculo do calor trocado Q e da variação da energia interna \Delta U com explicações didáticas:\n
  • Como explicado no Passo 2, para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura: U=U(T). Em um processo isotérmico temos T= constante, logo
\Delta U = 0.
  • Usando a primeira lei \Delta U = Q - W, isolamos Q:
Q = \Delta U + W.
Substituindo \Delta U=0 e o valor de W encontrado,
Q = 0 + W = W.
Ou seja, o calor recebido pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica (porque a energia interna não mudou).\n
Portanto:
Q \approx 16{,}895\\ \mathrm{kJ}, \qquad \Delta U = 0\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

(a) 16{,}895\\ \mathrm{kJ}\n
(b) 16{,}895\\ \mathrm{kJ}\n
(c) 0\\ \mathrm{kJ}

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