5 mols de ar sofrem uma expansão isotérmica ar a
e o volume do gás passou de 5 L para 20 litros. Calcular: (a) o trabalho executado em kJ. (b) A quantidade de calor em kJ e (c) a variação da energia interna. (Dados :
).
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que é pedido):\n
- Temos
mols de gás (ar) que sofrem uma expansão isotérmica a .\n - Volume inicial
.\n - Volume final
.\n - Constante dos gases:
(dado).\n
Perguntas do enunciado:\n
(a) Calcular o trabalho executado pelo gás em.\n
(b) Calcular a quantidade de calor trocada em.\n
(c) Calcular a variação da energia interna em.
Passo 2
Regras físicas e convenções que vamos usar (explicando passo a passo):\n
- Definição de trabalho em processos quasistáticos: o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande é dado por
. Aqui adotamos a convenção usual: quando o gás realiza trabalho sobre o meio externo.\n - Equação dos gases ideais:
, onde:\n - é a pressão (em Pa se usarmos SI),\n - é a quantidade de matéria (mol),\n - é a constante dos gases,\n - é a temperatura absoluta em kelvin,\n - é o volume.\n - Primeira lei da Termodinâmica (forma usada aqui):
, onde:\n - é a variação da energia interna do sistema,\n - é o calor recebido pelo sistema (positivo se recebido),\n - é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o gás realiza trabalho).\n - Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico ideal, a energia interna depende somente da temperatura:
. Assim, em um processo isotérmico (temperatura constante), temos . Vou explicar isso mais abaixo com calma.
Passo 3
Derivando a expressão do trabalho para uma expansão isotérmica de um gás ideal (aulas passo a passo):\n
Partimos de . Substituímos
pela equação dos gases ideais:
Partimos de
Aqui
,
e
são constantes durante o processo isotérmico, então podemos tirá‑los da integral:
A integral de
é o logaritmo natural, portanto:
Explicando as variáveis na fórmula final:\n
-
é o número de mols (aqui ),\n -
é a constante dos gases em ,\n -
é a temperatura absoluta em kelvin,\n -
é o logaritmo natural da razão de volumes (adimensional). Note que a razão de volumes é adimensional, então não importa se está em litros ou em — contanto que ambos volumes estejam na mesma unidade.
Passo 4
Cálculo numérico do trabalho com todos os passos e contas explicadas:\n
- Converter a temperatura para kelvin:\n
- Calcular a razão de volumes e seu logaritmo natural:\n
- Calcular
:\n
- Finalmente o trabalho:\n
- Converter para
dividindo por :\n
Passo 5
Cálculo do calor trocado
e da variação da energia interna
com explicações didáticas:\n
- Como explicado no Passo 2, para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura:
. Em um processo isotérmico temos constante, logo
- Usando a primeira lei
, isolamos :
Substituindo
e o valor de
encontrado,
Ou seja, o calor recebido pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica (porque a energia interna não mudou).\n
Portanto:
Portanto:
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)