Na Administração, um conceito fundamental é o Custo Médio de Produção. Imagine que uma pequena fábrica de calçados possui um custo fixo mensal de \mathrm{R} \ 6.000,00 (aluguel, energia, salários) e um custo variável deáá\mathrm{R} $12,00$ por par produzido. O custo médio por par é dado pela função:
\bar{C}(x)=\frac{6.000}{x}+12
onde x>0 representa a quantidade de pares produzidos no mês. Com base nessa função, calcule e interprete os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \bar{C}(x)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo foi extraído do enunciado):
  • Custo fixo mensal: \mathrm{R}\$\,6.000,00.
  • Custo variável por par produzido: \mathrm{R}\$\,12,00 por par.
  • A função do custo médio por par é
\bar{C}(x)=\frac{6.000}{x}+12,
com x>0 sendo a quantidade de pares produzidos no mês.
O que o problema pede aqui é calcular e interpretar o limite
\lim_{x\to+\infty}\bar{C}(x).

Passo 2

Entendendo o que é o limite pedido (intuição).
  • Quando escrevemos \lim_{x\to+\infty}\bar{C}(x) queremos saber qual valor \bar{C}(x) “se aproxima” quando x cresce sem limite (isto é, quando a fábrica produz cada vez mais pares).
  • No modelo da função, \bar{C}(x) é a soma de duas parcelas: \dfrac{6.000}{x} (o efeito do custo fixo diluído entre x unidades) e 12 (o custo variável por unidade).
  • Intuitivamente, conforme x aumenta muito, a fração \dfrac{6.000}{x} fica muito pequena, pois o denominador cresce sem parar. Então esperamos que essa parcela vá para 0 e que \bar{C}(x) tenda a 12.

Passo 3

Propriedade de limites que vamos usar.
  • Regra útil: se \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to+\infty}g(x) existem, então
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to+\infty}f(x)+\lim_{x\to+\infty}g(x).
  • Aplicaremos essa regra com f(x)=\dfrac{6.000}{x} e g(x)=12.

Passo 4

Calcular os limites das parcelas separadamente.
  • Para a constante:
\lim_{x\to+\infty}12 = 12,
porque uma função constante tem sempre o mesmo valor.
  • Para a fração:
\lim_{x\to+\infty}\frac{6.000}{x}=0.
Explicação didática por que isso é verdade: se tomarmos x=n\cdot 6.000 para n\in\mathbb{N}, então \dfrac{6.000}{x}=\dfrac{6.000}{n\cdot6.000}=\dfrac{1}{n}, e \dfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty. Como os valores da fração podem ser tornados arbitrariamente pequenos fazendo x grande, a fração tende a 0.

Passo 5

Juntando os resultados e concluindo o cálculo do limite.
Usando a propriedade de soma de limites do Passo 3 e os resultados do Passo 4, temos:
\lim_{x\to+\infty}\bar{C}(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{6.000}{x}+12\right) =\lim_{x\to+\infty}\frac{6.000}{x}+\lim_{x\to+\infty}12=0+12=12.

Passo 6

Interpretação econômica prática e observações úteis (como usar isso numa prova).
  • Interpretação: quando a produção cresce muito, o custo médio por par tende a \mathrm{R}\$\,12,00. Ou seja, o custo médio aproxima-se do custo variável por unidade porque o custo fixo ( \mathrm{R}\$\,6.000,00) fica cada vez menos relevante por unidade produzida.
  • Observação numérica para ficar concreto:
    • Se x=1.000, \bar{C}(1.000)=\dfrac{6.000}{1.000}+12=6+12=18 (R$,18,00 por par).
    • Se x=10.000, \bar{C}(10.000)=\dfrac{6.000}{10.000}+12=0,6+12=12,6 (R$,12,60 por par).
    • Se x cresce mais, os valores se aproximam cada vez mais de \mathrm{R}\$\,12,00.
  • Observação matemática curta que pode aparecer em prova: \bar{C}'(x)=-\dfrac{6.000}{x^{2}}<0 para x>0, então \bar{C}(x) é decrescente e possui assimptota horizontal y=12.

Resposta

\mathrm{R}\$\,12,00

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