Diferenciais
(iv) Use as diferencias para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de
de tinta a um domo (semiesfera) com diâmetro de
.
(iv) Use as diferencias para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada fina de tinta de espessura
sobre um domo que é uma semiesfera com diâmetro
.
Informações fornecidas:
- Espessura da camada:
(tirado do enunciado/imagem). - Diâmetro do domo:
(tirado do enunciado/imagem), portanto o raio do domo é . - Vamos considerar que a tinta é aplicada somente sobre a superfície curva da semiesfera (o “casco” do domo), não sobre a base circular.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática das diferenciais):
- Para uma esfera de raio
, o volume é . - Diferenciando essa expressão em relação a
obtemos a variação de volume quando o raio sofre um pequeno aumento :
- Interpretação física: para uma casca esférica fina, a variação de volume
é aproximadamente a área superficial da esfera vezes a espessura . De fato, a área da superfície da esfera é e assim (área) (espessura). - Como o domo é uma semiesfera (metade da superfície curva da esfera), a área curva da semiesfera é
. Portanto a quantidade de tinta (volume da camada) estimada pela diferencial é:
Aqui
é o raio da semiesfera e
é a espessura da camada de tinta.
Passo 3
Substituir os valores conhecidos na fórmula
.
Calcule primeiro
:
Portanto
Multiplicando pela espessura
:
Passo 4
Converter
para valor numérico aproximado usando
:
Comentário prático:
, logo isso equivale a aproximadamente
, ou
. A estimativa via diferencial é muito boa aqui porque
é pequeno em comparação com
, então termos de ordem maior em
são negligíveis.
Passo 5
Dica rápida para prova (como aplicar o método passo a passo):
- Identifique que a tinta forma uma casca fina; use a relação geral
. - Calcule a área apropriada (aqui semiesfera
). - Substitua
e e execute as contas com atenção às potências e unidades. - Converta
para ou litros se o enunciado pedir.