Diferenciais
(iv) Use as diferencias para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de 0,05 c m de tinta a um domo (semiesfera) com diâmetro de 50 c m.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada fina de tinta de espessura \,0,05\\ \text{cm}\, sobre um domo que é uma semiesfera com diâmetro \,50\\ \text{cm}\,.
Informações fornecidas:
  • Espessura da camada: \,dr = 0,05\\ \text{cm} (tirado do enunciado/imagem).
  • Diâmetro do domo: \,50\\ \text{cm} (tirado do enunciado/imagem), portanto o raio do domo é \,r = 25\\ \text{cm}.
  • Vamos considerar que a tinta é aplicada somente sobre a superfície curva da semiesfera (o “casco” do domo), não sobre a base circular.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática das diferenciais):
  • Para uma esfera de raio \,r, o volume é \displaystyle V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Diferenciando essa expressão em relação a \,r obtemos a variação de volume quando o raio sofre um pequeno aumento \,dr:
dV_{\text{esfera}}=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)dr = 4\pi r^{2}\,dr.
  • Interpretação física: para uma casca esférica fina, a variação de volume dV é aproximadamente a área superficial da esfera vezes a espessura \,dr. De fato, a área da superfície da esfera é \,4\pi r^{2} e assim dV_{\text{esfera}}\approx (área) \times (espessura).
  • Como o domo é uma semiesfera (metade da superfície curva da esfera), a área curva da semiesfera é \,2\pi r^{2}. Portanto a quantidade de tinta (volume da camada) estimada pela diferencial é:
dV_{\text{domo}} \approx 2\pi r^{2}\,dr.
Aqui \,r é o raio da semiesfera e \,dr é a espessura da camada de tinta.

Passo 3

Substituir os valores conhecidos na fórmula \displaystyle dV_{\text{domo}}=2\pi r^{2}\,dr.
Calcule primeiro \,r^{2}:
r^{2} = 25^{2} = 625.
Portanto
2\pi r^{2} = 2\pi\cdot 625 = 1250\pi.
Multiplicando pela espessura \,dr=0,05\\ \text{cm}:
dV_{\text{domo}} = 1250\pi \times 0,05 = 62{,}5\pi\\ \text{cm}^{3}.

Passo 4

Converter 62{,}5\pi para valor numérico aproximado usando \pi\approx3{,}1416:
dV_{\text{domo}} \approx 62{,}5\times 3{,}1416 \approx 196{,}35\\ \text{cm}^{3}.
Comentário prático: 1\\ \text{cm}^{3}=1\\ \text{mL}, logo isso equivale a aproximadamente 196{,}35\\ \text{mL}, ou 0,19635\\ \text{L}. A estimativa via diferencial é muito boa aqui porque \,dr é pequeno em comparação com \,r, então termos de ordem maior em (dr)^{2} são negligíveis.

Passo 5

Dica rápida para prova (como aplicar o método passo a passo):
  • Identifique que a tinta forma uma casca fina; use a relação geral dV \approx (\text{área da superfície})\cdot dráí.
  • Calcule a área apropriada (aqui semiesfera \,=2\pi r^{2}).
  • Substitua r e dr e execute as contas com atenção às potências e unidades.
  • Converta \text{cm}^{3} para \text{mL} ou litros se o enunciado pedir.

Resposta

\,196{,}35\\ \text{cm}^{3}
\,0{,}19635\\ \text{L}

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