Questão 5
Calcule as limites
(a)
Calcule as limites
(a)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O limite é tomado quando
tende a (ou seja, é negativo e com grande módulo). - A raiz quadrada indicada é a raiz principal, sempre não negativa:
para .
Passo 2
Primeiro, uma observação sobre a raiz: para
muito negativo o radicando
é positivo (porque
domina), então a expressão está bem definida para
com grande módulo negativo. Também é útil lembrar a identidade
ou seja, quando manipulamos
podemos comparar com
para entender o sinal do termo principal.
Passo 3
Uma maneira direta e clara é trocar a variável para tratar os sinais com mais naturalidade. Faça a substituição
onde
e
quando
. Substituindo na expressão obtemos
Portanto o limite original é equivalente a
Passo 4
Agora analisamos a expressão transformada. Note que, para
,
portanto
Daí segue que
Como
quando
, a quantidade
também tende a
. Logo o seu negativo tende a
. Em símbolos:
Passo 5
(se quiser uma intuição extra / refinamento assintótico) Podemos também ver o comportamento aproximado: para
vale
Usando a expansão
com
, obtemos
Logo
que claramente tende a
quando
. (Isto apenas confirma quantitativamente o resultado.)