Questão 5
Calcule as limites
(a) \lim \left(x-\sqrt{x^{2}-3 x}\right)
x \rightarrow-\infty

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-3x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é x-\sqrt{x^{2}-3x}.
  • O limite é tomado quando x tende a -\infty (ou seja, x é negativo e com grande módulo).
  • A raiz quadrada indicada é a raiz principal, sempre não negativa: \sqrt{y}\ge 0 para y\ge 0.

Passo 2

Primeiro, uma observação sobre a raiz: para x muito negativo o radicando x^{2}-3x é positivo (porque x^{2} domina), então a expressão está bem definida para x com grande módulo negativo. Também é útil lembrar a identidade
\sqrt{x^{2}}=|x|,
ou seja, quando manipulamos \sqrt{x^{2}-3x} podemos comparar com |x| para entender o sinal do termo principal.

Passo 3

Uma maneira direta e clara é trocar a variável para tratar os sinais com mais naturalidade. Faça a substituição
x=-t,
onde t>0 e t\to +\infty quando x\to -\infty. Substituindo na expressão obtemos
x-\sqrt{x^{2}-3x}=-t-\sqrt{(-t)^{2}-3(-t)}=-t-\sqrt{t^{2}+3t}.
Portanto o limite original é equivalente a
\lim_{t\to +\infty}\bigl(-t-\sqrt{t^{2}+3t}\bigr).

Passo 4

Agora analisamos a expressão transformada. Note que, para t\ge 0,
\sqrt{t^{2}+3t}\ge \sqrt{t^{2}}=t,
portanto
t+\sqrt{t^{2}+3t}\ge t+t=2t.
Daí segue que
-t-\sqrt{t^{2}+3t}=-(t+\sqrt{t^{2}+3t})\le -2t.
Como 2t\to +\infty quando t\to +\infty, a quantidade t+\sqrt{t^{2}+3t} também tende a +\infty. Logo o seu negativo tende a -\infty. Em símbolos:
\lim_{t\to +\infty}\bigl(-t-\sqrt{t^{2}+3t}\bigr)=-\infty.

Passo 5

(se quiser uma intuição extra / refinamento assintótico) Podemos também ver o comportamento aproximado: para x\to -\infty vale
\sqrt{x^{2}-3x}=\lvert x\rvert\sqrt{1-\frac{3}{x}}=-x\sqrt{1-\frac{3}{x}}.
Usando a expansão \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u) com u=-\tfrac{3}{x}, obtemos
\sqrt{x^{2}-3x}=-x\Bigl(1-\frac{3}{2x}+o\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)\Bigr)=-x+\frac{3}{2}+o(1).
Logo
x-\sqrt{x^{2}-3x}=x-(-x+\tfrac{3}{2}+o(1))=2x-\tfrac{3}{2}+o(1),
que claramente tende a -\infty quando x\to -\infty. (Isto apenas confirma quantitativamente o resultado.)

Resposta

-\infty

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